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Rayon de convergence - 1 - Bibm@th.net

Exercice 1 - Rayon de convergence - 1 ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf{1.}\ \sum_{n}\frac{1}{\sqrt{n}}x^n& \displaystyle \mathbf{2.}\ \sum_n \frac{n^2}{3^n}z^n& \displaystyle \mathbf{3.}\ \sum_n (\ln n) x^n\\ \displaystyle \mathbf{4.}\ \sum_n\frac{n!}{(2n)!}x^n& \displaystyle \mathbf{5.}\ \sum_n(2+ni) z^n& \displaystyle \mathbf{6.}\ \sum_n\frac{\sqrt nx^{2n}}{2^n+1}\\ \displaystyle \mathbf{7.}\ \sum_n \frac{n^n}{n!}z^{2n}& \displaystyle \mathbf{8.}\ \sum_n \binom{2n}{n}z^{4n}& \displaystyle \mathbf{9.}\ \sum_n n! z^n\\ \displaystyle \mathbf{10.} \ \sum_{n} \frac{n!}{2^{2n}\sqrt{(2n)!}}x^n& \displaystyle \mathbf{11.}\ \sum_n e^{-n^2}z^n \end{array}$$

Indication

Corrigé

Posons, pour $z\in\mathbb C^*,$ $u_n=\frac {z^n}{\sqrt n}$. Alors $$\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=|z|\times \sqrt{\frac{n}{n+1}}\to |z|.$$ On en déduit, d'après la règle de d'Alembert, que la série converge absolument si $|z|<1$ et qu'elle diverge grossièrement si $|z|>1.$ Ainsi, le rayon de convergence de la série entière est égal à $1$.
Posons, pour $z\in\mathbb C^*,$ $u_n=\frac{n^2}{3^n}z^n.$ Alors $$\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=|z|\times \frac{(n+1)^2}{3n^2}\to \frac{|z|}3.$$ Ainsi, si $|z|<3,$ la série converge absolument et si $|z|>3,$ la série diverge grossièrement. Donc le rayon de convergence de la série entière est égale à $3.$
On sait, par comparaison des puissances et du logarithme, que $(\ln n R^n)$ est borné si et seulement $|R|<1$. Ainsi, le rayon de convergence vaut 1. Ceci peut se retrouver par la règle de d'Alembert, puisque pour $z\in\mathbb C^*,$ $$\frac{|\ln(n+1)z^{n+1}|}{|(\ln n)z^n|}=|z|\frac{\ln n+\ln\left(1+\frac 1n\right)}{\ln n}\to |z|.$$
Posons, pour $x\in\mathbb R^*,$ $u_n=\frac{n!}{(2n)!}x^n$. Alors $$\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=\frac{n+1}{(2n+2)(2n+1)}|x|=\frac{|x|}{4n+2}\to 0.$$ Ainsi, la série converge quelle que soit la valeur de $|x|,$ et donc le rayon de convergence de la série entière est $+\infty$.
On remarque que $$(n-2)|z|^n\leq |2+ni||z^n|\leq (2+n)|z|^n.$$ Ainsi, la suite $((2+ni)z^n)$ est bornée si et seulement si $|z|<1.$ Le rayon de convergence de la série entière vaut donc 1. On peut retrouver facilement ce résultat avec la règle de d'Alembert.
Pour $R>0$, on a $$\frac{\sqrt nR^{2n}}{2^n+1}\sim_{+\infty} \sqrt n \left(\frac{R^2}{2}\right)^n.$$ Ceci est borné si et seulement si $\frac{R^2}2<1$. Le rayon de convergence est donc $\sqrt 2.$ On peut là encore donner une preuve en utilisant la règle de d'Alembert.
On pose, pour $z\in\mathbb C^*,$ $u_n=\frac{n^n}{n!}z^{2n}.$ Alors on a $$\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\times\frac{n!}{n^n}\times |z|^2 =\left(1+\frac 1n\right)^n |z|^2\to e |z|^2.$$ Ainsi, si $e|z|^2<1,$ c'est-à-dire si $|z|<e^{-1/2},$ la série converge absolument. Si $|z|>e^{-1/2},$ la série diverge grossièrement. Le rayon de convergence de la série entière est donc égal à $e^{-1/2}.$
Posons, pour $z\in\mathbb C^*,$ $u_n=\binom{2n}n z^{4n}.$ Alors $$\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=\binom{2n+2}{2n+1}{\binom{2n}n}^{-1}|z|^4=\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}|z|^4\to 4 |z|^4.$$ Ainsi, si $4|z|^4<1,$ c'est-à-dire si $|z|<1/\sqrt 2,$ la série converge absolument alors que si $|z|>1/\sqrt 2,$ la série diverge grossièrement. On en déduit que le rayon de convergence de la série entière vaut $1/\sqrt 2.$
Pour tout $r\geq 0,$ la suite $(r^n n!)$ n'est pas bornée. On en déduit que le rayon de convergence de la série entière est nulle. On peut retrouver ce résultat en posant, pour $z\in\mathbb C^*,$ $u_n=n! z^n$ et en remarquant que $$\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=(n+1)|z|\to +\infty.$$ La règle de d'Alembert permet de conclure que la série diverge grossièrement pour toutes les valeurs de $z\in\mathbb C^*$.
Pour $x\in\mathbb R^*,$ posons $u_n= \frac{n!}{2^{2n}\sqrt{(2n)!}}x^n.$ On remarque que $$\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=\frac{(n+1)}{4\sqrt{(2n+1)(2n+2)}}|x|\to \frac{|x|}8.$$ Si $|x|/8<1,$ c'est-à-dire si $|x|<8,$ la série converge absolument et si $|x|>8,$ elle diverge grossièrement. Le rayon de convergence de la série entière est donc égal à 8.
Posons $u_n=e^{-n^2}z^n.$ Alors $$\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=\frac{e^{-(n+1)^2}}{e^{-n^2}}|z|=e^{-2n-1}|z|\to 0.$$ Ainsi, d'après la règle de d'Alembert, la série converge pour toute valeur de $|z|.$ Le rayon de convergence de la série entière vaut $+\infty.$