Accéder à mon compte > Accéder à ma feuille d'exercices >

Transformation d'Abel - Bibm@th.net

Exercice 1 - Transformation d'Abel ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $u_n(\theta)=\frac{e^{in\theta}}{\sqrt{n}}$.

Montrer que $\sum_{n\geq 1} u_n(\theta)$ converge uniformément sur tout intervalle $[a,2\pi-a]$, avec $a\in]0,\pi[$.
Montrer que la convergence n'est pas uniforme sur $[0,2\pi]$ (on pourra utiliser la théorie des séries de Fourier et notamment le théorème de Parseval).

Indication

Corrigé

On va utiliser le critère de Cauchy uniforme, et faire une transformation d'Abel sur le reste. Précisément, en posant $A_n(\theta)=\sum_{k=0}^n e^{ik\theta}$, on a, pour $p\leq q$ : $$\sum_{n=p}^q \frac{e^{in\theta}}{\sqrt{n}}=\sum_{n=p}^q \frac{A_{n}(\theta)-A_{n-1}(\theta)}{\sqrt{n}}.$$ On effectue une transformation d'écriture (appelée transformation d'Abel) pour réécrire cette somme comme $$\sum_{n=p}^q \frac{e^{in\theta}}{\sqrt{n}}=\sum_{n=p}^{q-1} A_n\times \left(\frac1{\sqrt n}-\frac1{\sqrt{n+1}}\right)-\frac{A_{p-1}}{\sqrt{p}}+\frac{A_q}{\sqrt{q}}.$$ Une bonne façon de comprendre cette transformation est d'écrire les choses de la façon suivante. Au départ, on a \begin{eqnarray*} \sum_{n=p}^q \frac{e^{in\theta}}{\sqrt{n}}&=&\frac{A_p}{\sqrt{p}}-\frac{A_{p-1}}{\sqrt{p}}+\\ &&\frac{A_{p+1}}{\sqrt{p+1}}-\frac{A_{p}}{\sqrt{p+1}}+\\ &&\vdots\\ &&\frac{A_q}{\sqrt{q}}-\frac{A_{q-1}}{\sqrt{q}}. \end{eqnarray*} La transformation d'Abel revient à regrouper la somme "en diagonal", de sorte qu'on classe les termes avec le même indice $A_n$.
Si on revient à l'écriture obtenue, le point clé est que $A_n(\theta)$ est borné, indépendamment de $n$ et de $\theta$, sur tout intervalle $[a,2\pi-a]$. En effet, on reconnait la somme d'une série géométrique, et on a : $$A_n(\theta)=\frac{e^{i(n+1)\theta}-1}{e^{i\theta}-1}=e^{in\theta/2}\frac{\sin\big((n+1)\theta/2\big)}{\sin(\theta/2)}.$$ Mais comme $\theta\in[a,2\pi-a]$, $|\sin(\theta/2)|$ est minorée par $|\sin(a/2)|$, et on obtient : $$|A_n(\theta)|\leq \frac{1}{|\sin(a/2)|}:=M.$$ Revenant à la série qui nous intéresse, on trouve donc : $$\left|\sum_{n=p}^q \frac{e^{in\theta}}{\sqrt{n}}\right|\leq \frac{M}{\sqrt{p}}+\frac{M}{\sqrt{q}}+M\sum_{n=p}^{q-1}\left(\frac1{\sqrt{n}}-\frac1{\sqrt{n+1}}\right).$$ La dernière somme est "télescopique", et on trouve finalement : $$\left|\sum_{n=p}^q \frac{e^{in\theta}}{\sqrt{n}}\right|\leq \frac{2M}{\sqrt{p}}.$$ Ainsi, pour $\veps>0$ fixé, on peut trouver $N$ assez grand tel que, pour $q\geq p\geq N$, on a pour tout $\theta\in[a,2\pi-a]$, $$\left|\sum_{n=p}^q \frac{e^{in\theta}}{\sqrt{n}}\right|\leq \veps.$$ Par le critère de Cauchy uniforme, la série converge uniformément sur $[a,2\pi-a]$.
Imaginons que la série converge uniformément sur $[0,2\pi]$ vers une fonction $S$, nécessairement continue. Puisque $S$ est la limite uniforme d'une série trigonométrique, ses coefficients de Fourier sont donnés par $c_n(S)=\frac{1}{\sqrt{n}}$ si $n\geq 1$, $0$ sinon. Mais alors, par le théorème de Parseval appliqué à $S$, on aurait $$\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n}=\int_0^{2\pi}|S(\theta)|^2d\theta.$$ C'est impossible puisque la série qui apparait à gauche est divergente.