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Exemples et contre-exemples - Bibm@th.net

Exercice 1 - Exemples et contre-exemples ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]
Enoncé
Pour $x\in I=[0,1]$, $a\in\mathbb R$ et $n\geq 1$, on pose $u_n(x)=n^a x^n(1-x)$.
  1. Étudier la convergence simple sur $I$ de la série de terme général $u_n$. On notera dans la suite $S$ la somme de la série.
  2. Étudier la convergence normale sur $I$ de la série de terme général $u_n$.
  3. On suppose dans cette question que $a=0$. Calculer $S$ sur $[0,1[$. En déduire que la convergence n'est pas uniforme sur $[0,1]$.
  4. On suppose $a>0$. Démontrer que la convergence n'est pas uniforme sur $I$.
Indication
Corrigé