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Exemples et contre-exemples - Bibm@th.net

Exercice 1 - Exemples et contre-exemples ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]
Enoncé
Pour $x\geq 0$, on pose $u_n(x)=\frac{x}{n^2+x^2}.$
  1. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
  2. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ converge uniformémement sur tout intervalle $[0,A]$, avec $A>0$.
  3. Vérifier que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, $\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{n}{n^2+k^2}\geq\frac 15$.
  4. En déduire que la série $\sum_{n\geq 1}u_n$ ne converge pas uniformément sur $\mathbb R_+$.
Indication
Corrigé