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Un théorème de Dini - Bibm@th.net

Exercice 1 - Un théorème de Dini ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]
Enoncé
Soit $(f_n)$ une suite croissante (ie $f_n\leq f_{n+1}$) de fonctions continues sur un segment $[a,b]$ qui converge simplement vers une fonction $f$ continue. Pour $\veps>0$ et $n\geq 1$, on pose $$K_n(\veps)=\{x\in[a,b];\ |f(x)-f_n(x)|\geq \veps\}.$$
  1. Justifier que si pour tout $\veps>0$, il existe un entier $n$ tel que $K_n(\veps)=\varnothing$, alors $(f_n)$ converge uniformément vers $f$.
  2. Démontrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]$.
Indication
Corrigé