Accéder à mon compte > Accéder à ma feuille d'exercices >

Exemples de convergence uniforme, ou non ! - Bibm@th.net

Exercice 1 - Exemples de convergence uniforme, ou non ! ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Étudier la convergence simple et la convergence uniforme des suites de fonctions $(f_n)$ suivantes :

$f_n(x)=e^{-nx}\sin(2nx)$ sur $\mtr^+$ puis sur $[a,+\infty[$, avec $a>0$.
$f_n(x)=\frac 1{(1+x^2)^n}$ sur $\mathbb R$, puis sur $[a,+\infty[$ avec $a>0$.
$f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{1+n^2x^2}$ sur $[a,+\infty[$ avec $a>0,$ puis sur $\mathbb R_+$.

Indication

Corrigé

L'inégalité $|f_n(x)|\leq e^{-nx}$ prouve que $f_n$ converge simplement vers la fonction nulle. Posons $g(x)=e^{-x}\sin(2x)$. On a $f_n(x)=g(nx)$. De plus, lorsque $x$ parcourt $\mathbb R_+$, $nx$ parcourt $\mathbb R_+$ et donc $$\sup_{x\in\mathbb R_+}|f_n(x)|=\sup_{x\in\mathbb R_+}|g(x)|>0.$$ La suite $(\|f_n\|_{\infty})$ est une constante strictement positive, elle ne peut pas tendre vers 0 quand $n\to+\infty$ : la convergence n'est pas uniforme sur $\mathbb R^+$. En revanche, si $a>0$ et $x\geq a$, on a : $$|f_n(x)|\leq e^{-na},$$ ce qui prouve la convergence uniforme sur $[a,+\infty[$.
Si $x\neq 0$, $(f_n(x))$ tend vers 0 (c'est une suite géométrique de raison dans l'intervalle $]0,1[)$, et si $x=0$, alors la suite $(f_n(x))$ est constante égale à 1. La suite de fonctions $(f_n)$ converge donc simplement vers la fonction $f$ égale à $1$ en $0$ et égale à $0$ partout ailleurs. La convergence ne peut pas être uniforme sur $\mathbb R$ car chaque fonction $f_n$ est continue sur $\mathbb R$ et la fonction limite ne l'est pas en $0$. En revanche, la convergence est uniforme sur les intervalles du type $[a,+\infty[$ avec $a>0$, puisque pour tout $x\geq a$, on a $$|f_n(x)-f(x)|=\frac 1{(1+x^2)^n}\leq \frac{1}{(1+a^2)^n}$$ et le dernier terme de cette inégalité (qui ne dépend plus de $x\in [a,+\infty[$), tend vers $0$.
On commence par remarquer que, pour tout $x\geq 0,$ $(f_n(x))$ converge vers $0$ : c'est évident si $x=0$ car la suite est constante égale à $0,$ et si $x>0,$ on utilise la majoration $$|f_n(x)|\leq \frac{1}{n^2x^2}.$$ Fixons ensuite $a>0$ et considérons $x\geq a.$ Alors on a $|\sin(nx)|\leq 1$ et $1+n^2x^2\geq 1+n^2a^2$ par croissance de la fonction $x\mapsto x^2$ sur $[a,+\infty[$. On a donc $$|f_n(x)|\leq \frac{1}{1+n^2a^2}.$$ Le membre de droite est une suite numérique (qui ne dépend plus de $x$) et qui tend vers $0.$ Ceci prouve la convergence uniforme de la suite $(f_n)$ vers la fonction nulle sur $[a,+\infty[$.
D'autre part, on a $f_n(1/n)=\frac{\sin(1)}{2}.$ On a donc $$\|f_n-0\|_{\infty,[0,+\infty[}=\|f_n\|_{\infty,[0,+\infty[}\geq \frac{\sin(1)}2.$$ Ainsi, la suite $(f_n)$ ne converge pas uniformément vers la fonction nulle sur $[0,+\infty[$.