Composée de fonctions convexes - Bibm@th.net

Soit $x,y\in\mathbb R$ et $\lambda\in[0,1]$. Alors on a par convexité de $f$ : $$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y).$$ Par croissance de $g$, on en déduit que $$g\circ f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq g\big(\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)\big).$$ La convexité de $g$ permet de conclure à $$g\circ f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda g\circ f(x)+(1-\lambda)g\circ f(y)$$ ce qui signifie bien que $g\circ f$ est convexe.