Exemple dans les fonctions continues - Bibm@th.net

On va prouver que l'intérieur de $D$ est vide. Pour cela, prenons $f\in D$ et construisons une suite de fonctions $f_n$ dans $D^c$ qui converge vers $f$ pour $\|\cdot\|$. Pour cela, considérons $g(x)=|x-\frac 12|$, de sorte que $\|g\|_\infty=\frac 12$. Mais alors, posons $$f_n(x)=f(x)+\frac 1ng(x).$$ Alors $\|f_n-f\|_\infty=\frac 1n\|g\|_\infty\leq \frac{1}{2n}\to 0$. Et de plus, $f_n$ n'est pas dérivable en $1/2$ car $g$ ne l'est pas alors que $f$ l'est. Donc $f_n\in D^c$, ce qui achève la preuve que l'intérieur de $D$ est vide. Puisque $P\subset D$, l'intérieur de $P$ est vide lui aussi.