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Exemples - Bibm@th.net

Exercice 1 - Exemples ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Dessiner, puis déterminer l'intérieur et l'adhérence des parties de $\mathbb R^2$ suivantes : \begin{array}{lll} A=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x>0\right\}&\quad& B=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2; \ xy=1\right\}\\ C=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ xy>1\right\}&\quad& D=\left\{(x,y)\in\mtr^2\mid x^2+y^2\le 2\right\} \setminus \left\{(x,y)\in \mtr^2 \mid (x-1)^2+y^2<1\right\}. \end{array}

Corrigé

Remarquons d'abord que $A$ est une partie ouverte (c'est le demi-plan droit strict) : si $(x,y)\in A$, alors $B( (x,y), x/2)$ est contenue dans $A$. Ainsi, $\stackrel{\circ}A=A$. D'autre part, on a $\bar A=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x\geq 0\}$. En effet, si $(x_n,y_n)$ est une suite de $A$ qui converge vers $(x,y)$, alors par passage à la limite $x\geq 0$, ce qui prouve que $\bar A\subset \{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x\geq 0\}$. Réciproquement, soit $(x,y)\in\mathbb R^2$ tel que $x\geq 0$. Alors, si $x>0$, $(x,y)\in A\subset \bar A$ et si $x=0$, alors prenons la suite $(x_n,y_n)$ définie par $x_n=x+\frac 1n$, $y_n=y$. $(x_n,y_n)$ est une suite de $A$ qui converge vers $(x,y)$, ce qui démontre l'inclusion réciproque.
On montre facilement que $B$ est fermé, et donc que $\bar B=B$. D'autre part, $\stackrel{\circ}B=\varnothing$. En effet, si $(x,y)\in B$, il existe une suite $(x_n,y_n)$ qui n'est pas dans $B$ et qui converge vers $x$, par exemple $x_n=x+\frac 1n$ et $y_n=y$, on a $x_ny_n=1+\frac yn\neq 1$ puisque $y\neq 0$.
On remarque d'abord que cet ensemble est ouvert (le plus facile est de dire qu'il s'agit de l'image réciproque de l'ouvert $]1,+\infty[$ par l'application continue $\phi(x,y)=xy$). Ainsi, $\stackrel{\circ}C=C$. D'autre part, par une démonstration semblable à la démonstration effectuée pour $A$, on démontre que $\bar C=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ xy\geq 1\}$.
On va écrire l'ensemble $D$ autrement : $$D=\{(x,y)\in\mtr^2\mid x^2+y^2\le 2\}\cap \{(x,y)\in \mtr^2 \mid (x-1)^2+y^2\geq 1\}.$$ Remarquons que $D$ est fermé, et donc $\bar D=D$. D'autre part, l'intérieur de l'intersection vaut l'intersection des intérieurs. On a donc : $$\stackrel{\circ}D=\{(x,y)\in\mtr^2\mid x^2+y^2< 2\}\cap \{(x,y)\in \mtr^2 \mid (x-1)^2+y^2> 1\}.$$ La frontière est alors : \begin{eqnarray*} \Fr(D)&=&\big(\{(x;y)\in\mathbb{R}^2;\ x^2+y^2\leqslant2\}\cap\{(x;y)\in\mathbb{R}^2|(x-1)^2+y^2=1\}\big)\\ && \cup\big(\{(x;y)\in\mathbb{R}^2|x^2+y^2=2\}\cap\{(x;y)\in\mathbb{R}^2|(x-1)^2+y^2\geq1\}.\big) \end{eqnarray*}