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Somme d'un ensemble et d'un ouvert ou d'un fermé - Bibm@th.net

Exercice 1 - Somme d'un ensemble et d'un ouvert ou d'un fermé ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]
Enoncé
Soit $(E,N)$ un espace vectoriel normé, et $A$ et $B$ deux parties de $E$. On définit : $$A+B=\left\{z\in E;\ \exists x\in A,\ \exists y\in B,\ z=x+y\right\}.$$
  1. Démontrer que si $A$ est ouvert, alors pour tout $b\in E$, $A+\{b\}$ est ouvert.
  2. Démontrer que si $A$ est ouvert, alors $A+B$ est ouvert.
  3. Démontrer que les parties $A=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ xy=1\}$ et $B=\{0\}\times \mathbb R$ sont fermées.
  4. Démontrer que $A+B$ n'est pas fermée, pour $A$ et $B$ les parties de $\mathbb R^2$ introduites à la question précédente.
Indication
Corrigé