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Exemples - Bibm@th.net

Exercice 1 - Exemples ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Déterminer si les ensembles suivants sont ouverts ou fermés : $$\begin{array}{lll} A=\{(x,y)\in \mtr^2: 0<\vert x-1\vert <1 \}&\quad\quad& B=\{(x,y)\in \mtr^2: 0\leq x\leq y\}\\ C=\{(x,y)\in \mtr^2: \vert x\vert <1,\; \vert y\vert \leq 1 \}&\quad\quad& D=\{(x,y)\in \mtr^2 : x\in \mtq\textrm{ et }y\in \mtq \}\\ E=\{(x,y)\in \mtr^2 : x\not\in \mtq \textrm{ ou }\ y\not\in \mtq \}&\quad\quad& F=\{(x,y)\in \mtr^2 : x^2+y^2 <4 \}. \end{array}$$

Corrigé

$A$ et $F$ sont ouverts. $B$ est fermé, les autres ne sont ni ouverts ni fermés. Voici une preuve variant les techniques :

$A$ est ouvert. En effet, si $(x,y)\in A$, alors $0<|x-1|<1$, c'est-à-dire que $x\neq 1$ et $0<x<2$. On sait alors qu'il existe $\veps>0$ tel que $1\notin ]x-\veps,x+\veps[$ et $0<x-\veps<x+\veps<2$. Alors, $B( (x,y),\veps)$ (pour la norme infinie) est contenue dans $A$. $A$ n'est pas fermé, car la suite $(u_n)_{n\geq 2}$ définie pour $n\geq 2$ par $u_n=(1/n,0)$ est une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $(0,0)$ qui n'est pas dans $A$.
$B$ est fermé. Si $(x_n,y_n)_{n\geq 1}$ est une suite d'éléments de $B$ qui converge vers $(x,y)$, alors on sait que pour chaque entier $n$, on a $0\leq x_n\leq y_n$. En passant à la limite, on en déduit que $0\leq x\leq y$ et donc que $(x,y)\in B$. $B$ n'est pas ouvert : le point $(0,0)$ est élément de $B$ mais dans toute boule contenant $(0,0)$, il y a des points qui ne sont pas dans $B$ (les points du type $(-\veps,0)$ par exemple, avec $\veps>0$ assez petit).
$C$ n'est pas fermé, car si $u_n=(1-\frac 1n,1)$, $(u_n)$ est une suite d'éléments de $C$ qui converge vers $(1,1)$ qui n'est pas dans $C$. $C$ n'est pas ouvert, car toute boule contenant le point $(0,1)$, qui est dans $C$, contient des éléments qui ne sont pas dans $C$ (par exemple les points $(0,1+\veps)$ avec $\veps>0$ assez petit).
$D$ n'est pas fermé : si $(r_n)$ est une suite de rationnels convergeant vers $\sqrt 2$, alors la suite $(r_n,0)$ est une suite d'éléments de $D$ qui converge vers $(\sqrt 2,0)$ qui n'est pas élément de $D$. $D$ n'est pas ouvert. Dans toute boule de centre $(0,0)$, qui est élément de $D$, il existe des éléments qui ne sont pas dans $D$, par exemple les éléments du type $(0,\sqrt2/n)$.
$E$ n'est pas ouvert car son complémentaire, $D$, n'est pas fermé. $E$ n'est pas fermé car son complémentaire n'est pas ouvert.
$F$ est ouvert car c'est l'image réciproque de l'intervalle ouvert $]-\infty,4[$ par la fonction continue $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ définie par $f(x,y)=x^2+y^2$. $F$ n'est pas fermé, car la suite $(u_n)$ définie par $u_n=(2-\frac 1n,0)$ est une suite d'éléments de $D$ qui converge vers $(2,0)$ qui n'est pas élément de $F$.