Enoncé 
Étudier les extrema de la fonction $f:\mathbb R^2\to\mathbb R,\ (x,y)\mapsto \exp(axy)$, $a>0$
sous la contrainte $x^3+y^3+x+y-4=0$.
Indication 
Appliquer le théorème des multiplicateurs de Lagrange, et démontrer que s'il y a un extremum
lié, c'est forcément en (1,1). Étudier précisément ce qui se passe en (1,1).
Corrigé Notons $g(x,y)=x^3+y^3+x+y-4$ et $G=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ g(x,y)=0\}$.
On commence par calculer
les diverses dérivées partielles :
$$\frac{\partial f}{\partial x}=ay\exp(axy),\ \frac{\partial f}{\partial y}=ax\exp(axy),\ \frac{\partial g}{\partial x}=3x^2+1\textrm{ et }
\frac{\partial g}{\partial y}=3y^2+1.$$
En un point $(x,y)$ de $G$ où $f$ atteint un extrémum (sur $G$), les différentielles sont proportionnelles. On en déduit que
$$\frac{ay\exp(axy)}{3x^2+1}=\frac{ax\exp(axy)}{3y^2+1}$$
ce qui entraîne $3y^3+y=3x^3+x$. La fonction $t\mapsto 3t^3+t$ étant strictement croissante, on en déduit que l'on a nécessairement $x=y$.
Il vient $x^3+x-2=0$, dont la seule racine réelle est $x=1$.
Il faut maintenant étudier ce qui se passe en (1,1). Y-a-t-il un extrémum? Est-ce un minimum? Un maximum?
En fait, il suffit de remarquer qu'en les points de $x^3+y^3+x+y-4=0$ pour lesquels $|x|$ est grand, alors
$|y|$ est grand lui aussi, mais $x$ et $y$ sont de signe opposés. Autrement dit,
$$\lim_{\|(x,y)\|\to +\infty, (x,y)\in G}f(x,y)=0.$$
Ainsi, par compacité, la fonction admet forcément un maximum qui est atteint en $(1,1)$.
