Enoncé 
Déterminer le polynôme minimal des matrices suivantes :
$$A=\left(\begin{array}{cc}
1&1\\
0&1
\end{array}\right),\
B=\left(\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
1&1&1\\
1&1&1
\end{array}\right),\
C=\left(\begin{array}{ccc}
1&2&-2\\
2&1&-2\\
2&2&-3
\end{array}\right)\textrm{ et }
D=\left(\begin{array}{ccc}
3&0&8\\
3&-1&6\\
-2&0&-5
\end{array}\right).$$
Indication 
On peut calculer les puissances de $A$ et trouver une relation entre elles de degré le plus petit possible, ou bien chercher le polynôme minimal parmi les diviseurs du polynôme caractéristique,
Corrigé On va utiliser plusieurs méthodes. Pour $A$, on remarque que son polynôme caractéristique est $(X-1)^2$. Son polynôme minimal ne peut être que $(X-1)$ ou $(X-1)^2$. Ce ne peut pas être $X-1$ car si $A$ serait égale à $I_2$ donc son polynôme minimal est $(X-1)^2$.
Pour $B$, on remarque que $B^2=3B$ et donc $B^2-3B=0$. Comme $B$ n'est pas un multiple de l'identité, on en déduit que son polynôme minimal est $X^2-3X$.
Pour $C$, nous allons utiliser le fait qu'elle est diagonalisable. On commence par calculer le polynôme caractéristique de $C$.
Après calculs, on trouve qu'il est égal à
$$\chi_C(X)= (X-1)(X+1)^2.$$
$C$ admet donc deux valeurs propres, $1$ et $-1$. On recherche les espaces propres associés.
Pour la valeur propre 1, on trouve que $E_1=\mathbb R f_1$ avec $f_1=(1,1,1)$.
Pour la valeur propre -1, on trouve que $E_{-1}=\mathbb R f_2\oplus\mathbb Rf_3$
avec $f_2=(-1,1,0)$ et $f_3=(1,0,1)$. La matrice $C$ est
donc diagonalisable, de spectre $1$ et $-1$. Son polynôme minimal est donc $(X-1)(X+1)$. On aurait pu aussi dire que son polynôme minimal divise le polynôme caractéristique $(X-1)(X+1)^2$ tout en ayant les mêmes racines. Cela ne peut être que $(X-1)(X+1)$ ou $(X-1)(X+1)^2$. Il était alors facile de vérifier que $(X-1)(X+1)$ est un polynôme annulateur pour $C$.
Pour $D$, le polynôme caractéristique de $D$ est
$$\chi_D(X)=(X+1)^3.$$
La seule valeur propre de $D$ est donc -1. Comme $D$ n'est pas égale à $-I_3$,
$D$ n'est pas diagonalisable et son polynôme minimal ne peut être que
$(X+1)^3$ ou $(X+1)^2$. Un calcul rapide montre que $(D+I_3)^2=0$, et donc le
polynôme minimal de $D$ est $(X+1)^2$.
