Puissance d'une matrice et polynôme d'endomorphisme - Bibm@th.net

On vérifie facilement que $J^2=nJ$ et donc que $P(X)=X^2-nX$ est un polynôme annulateur pour $J$. Effectuons ensuite la division euclidienne de $X^k$ par $P$. Puisque $P$ est de degré 2, il existe $Q\in\mathbb R[X]$ et $a,b\in\mathbb R$ tels que $$X^k=P(X)Q(X)+aX+b.$$ On évalue cette égalité en les racines de $P$, à savoir $0$ et $n$. L'évaluation en $0$ donne $b=0$ et l'évalution en $n$ donne $a=n^{k-1}$. On a donc $X^k=P(X)Q(X)+n^{k-1}X$. On en déduit que $J^k=n^{k-1}J$, relation que l'on aurait tout aussi bien pu prouver assez simplement par récurrence!