Enoncé 
Démontrer que les groupes multiplicatifs $(\mathbb R^*,\cdot)$ et $(\mathbb C^*,\cdot)$ ne sont pas isomorphes.
Indication 
Raisonner par l'absurde, supposer l'existence d'un isomophisme $f$ de $(\mathbb C^*,\cdot)$ dans $(\mathbb R^*,\cdot)$ et travailler à partir de $f(i)$.
Corrigé Supposons que ces deux groupes sont isomorphes et soit $f$ un isomorphisme de $(\mathbb C^*,\cdot)$ dans $(\mathbb R^*,\cdot)$. Posons $a=f(i)$. Alors
$$f(i^4)=a^4=1$$
et donc $a^2=1$ puisque $a^2>0$. D'où $1=a^2=f(i^2)=f(-1)$ et $1=f(1)$. $f$ ne peut pas être injectif, on a obtenu une contradiction.
