Un élément est son propre inverse - Bibm@th.net

Notons, pour $x\in G$, $F_x=\{x,x^{-1}\}$. Alors il est facile de voir que l'on a ou bien $F_x=F_y$, ou bien $F_x\cap F_y=\varnothing$ pour tout $x,y\in G$. En effet, si $x=y^{-1}$, alors $x^{-1}=y$ et on a bien $F_x=F_y$. $G$ s'écrit alors comme la réunion disjointe de tous les $F_x$ différents. Au moins l'un parmi ces $F_x$ est de cardinal 1 : il s'agit de $F_e$. Si tous les autres étaient de cardinal 2, alors le groupe serait de cardinal impair, ce qui n'est pas le cas. Il existe donc $x\neq e$ tel que le cardinal de $F_x$ soit égal à 1, c'est-à-dire tel que $x=x^{-1}$.