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Deux fois pile - Bibm@th.net

Exercice 1 - Deux fois pile ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

On joue à pile ou face avec une pièce non équilibrée. A chaque lancer, la probabilité d'obtenir pile est 2/3, et donc celle d'obtenir face est 1/3. Les lancers sont supposés indépendants, et on note $X$ la variable aléatoire réelle égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir, pour la première fois, deux piles consécutifs. Pour $n\geq 1$, on note $p_n$ la probabilité $P(X=n)$.

Expliciter les événements $(X=2)$, $(X=3)$, $(X=4)$, et déterminer la valeur de $p_2$, $p_3$, $p_4$.
Montrer que l'on a $p_n=\frac{2}{9}p_{n-2}+\frac{1}{3}p_{n-1}$, $n\geq 4$.
En déduire l'expression de $p_n$ pour tout $n$.
Rappeler, pour $q\in]-1,1[$, l'expression de $\sum_{n=0}^{+\infty}nq^n$, et calculer alors $E(X)$. Interpréter.

Indication

Corrigé

On note $P_k$ (resp. $F_k$) l'événement on obtient pile (resp. face) au $k-$ième lancer. L'événement $(X=2)$ correspond à : $$(X=2)=P_1P_2\implies p_2=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac4{9}.$$ De même, $$(X=3)=F_1P_2P_3\implies p_3=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac4{27}.$$ Pour $(X=4)$, cela se corse un peu ! $$(X=4)=F_1F_2P_3P_4\cup P_1F_2P_3P_4\implies p_4=\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac 23\right)^2+\left(\frac 13\right)\left(\frac 23\right)^3=\frac 4{27}.$$
On s'inspire du calcul de $p_4$ : pour obtenir $X=n$, on peut :
- ou bien avoir obtenu pile au 1er lancer. Dans ce cas, on a forcément obtenu face au second lancer (sinon $X=2$), donc avec une probabilité de 1/3. Puis il reste $n-2$ lancers, et le premier "double pile" doit arriver au bout du $n-2$-ème. Ceci se produit avec une probabilité valant $p_{n-2}$. On a donc $$P(X=n|P_1)=\frac 13p_{n-2}\textrm{ et }P(P_1)=\frac 23.$$
- ou bien avoir obtenu face au 1er lancer. Il reste $n-1$ lancers où il faut obtenir le premier double pile au bout du $n-1$-ème, ce qui se produit avec une probabilité valant $p_{n-1}$. On a donc $$P(X=n|F_1)=p_{n-1}\textrm{ et }P(F_1)=\frac 13.$$
D'après la formule des probabilités totales, on trouve : $$p_n=\frac{2}{9}p_{n-2}+\frac{1}{3}p_{n-1}.$$
On a une classique formule de récurrence linéaire d'ordre 2. L'équation caractéristique $r^2=r/3+2/9$ a pour solution $2/3$ et $-1/3$. On en déduit finalement que, pour $n\geq 2$, on a $$p_n=\alpha\left(\frac{2}{3}\right)^n+\beta\left(\frac{-1}{3}\right)^n.$$ On détermine $\alpha$ et $\beta$ en testant sur les premiers termes ($p_2$ et $p_3$). On obtient : $$p_n=\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}+\frac{4}{3}\left(\frac{-1}{3}\right)^n.$$ Remarquons que cette formule reste valable pour $n=1$ puisqu'on a alors $p_1=0$.
Il est bien connu que pour tout $q\in]-1,1[$, on a : $$\sum_{n=0}^{+\infty}nq^n=\frac{q}{(1-q)^2}$$ (cette formule s'obtient en dérivant la formule donnant la somme d'une série géométrique). On en déduit, après un peu de calculs : $$E(X)=\sum_{n=1}^{+\infty}np_n=\frac{15}{4}.$$ En moyenne, si on répète un grand nombre de fois l'expérience aléatoire, il faudra 15/4 lancers (non entier!) pour obtenir pour la première fois deux piles consécutifs.