Corrigé 
Puisque les termes généraux des deux séries sont positifs, il suffit de démontrer que les
sommes partielles d'une des séries sont majorées si et seulement si les sommes partielles de l'autre le sont. L'idée est de considérer dans les sommes partielles de $\sum_n u_n$ des blocs dont les indices sont compris entre $2^k$ et $2^{k+1}-1$ pour pouvoir comparer aux sommes partielles de la série $\sum_n 2^n u_n$. Pour cela, le point clé est l'encadrement suivant :
$$2^ku_{2^{k+1}}\leq (2^{k+1}-2^k)u_{2^{k+1}-1}\leq u_{2^k}+\dots+u_{2^{k+1}-1}\leq (2^{k+1}-2^k)u_{2^k}\leq 2^k u_{2^k}.$$
Ainsi, supposons que $\sum_k 2^k u_{2^k}$ est convergente, et soit $M$ tel que, pour tout $K$,
on a $\sum_{k=0}^K 2^k u_{2^k}\leq M$. Alors, considérons $N$ un entier et fixons $K$ tel que $N\leq 2^{K+1}-1$.
On a
$$\sum_{n=1}^N u_n\leq \sum_{n=1}^{2^{K+1}-1}u_n\leq \sum_{k=0}^{K}\sum_{j=2^k}^{2^{k+1}-1}u_j\leq \sum_{k=0}^K 2^k u_{2^k}\leq M.$$
On en conclut que $\sum_n u_n$ est convergente.
Réciproquement, supposons que $\sum_n u_n$ est convergente, et soit $M$ tel que, pour tout $N$, on a
$\sum_{n=1}^N u_n\leq M$. Alors, pour tout entier $K$, on a
$$\sum_{k=0}^K 2^k u_{2^k}=u_1+\sum_{k=0}^{K-1}2^{k+1}u_{2^{k+1}}\leq u_1+2\sum_{k=0}^{K-1}\sum_{j=2^k}^{2^{k+1}-1}u_j\leq u_1+2\sum_{n=1}^{2^K}u_n\leq u_1+2M.$$
Ainsi, la série $\sum_n 2^n u_{2^n}$ est convergente.
