On remarque d'abord que la série est convergente. Il s'agit d'une série alternée $\sum_{n\geq 1}(-1)^n a_n$ où $a_n=\frac1{n\ln(n+1)}$ est une suite décroissante vers $0$. Notons $S_n$ la somme partielle d'ordre $n$ de cette série et
$S$ cette somme. Alors
on peut appliquer le critère des séries alternées, et on sait que $S$ est encadré par deux sommes partielles consécutives. Plus précisément ici, en tenant compte du fait que $S_{2n-1}\leq S_{2n}$, on a $S_{2n-1}\leq S\leq S_{2n}$. Il suffit donc de calculer $S_{2n-1}$ et $S_{2n}$ jusqu'à ce que $S_{2n}-S_{2n-1}=\frac{1}{2n\ln(2n+1)} \leq 10^{-5}$. Ceci donne :
import math
S=-1/math.log(2)
T=S+1/(2*math.log(3))
n=2
while (T-S)<0.00001:
S=T-1/((2*n-1)*math.log(2n))
T=S+1/((2*n)*math.log(2*n+1))
n=n+1
print T,S
