Une symétrie orthogonale - Bibm@th.net

Il faut d'abord prouver que $\phi$ est une symétrie, c'est-à-dire que $\phi\circ\phi=Id$. Mais c'est clair, car $P(-(-X))=P(X)$. Il faut aussi démontrer que $\phi$ est une symétrie orthogonale, c'est-à-dire que $\phi$ conserve le produit scalaire, ou encore que $$\langle \phi (P),\phi(Q)\rangle=\langle P,Q\rangle$$ pour tous polynômes $P,Q\in E$. Mais, $$\langle \phi(P),\phi(Q)\rangle =\int_{-1}^1 P(-t)Q(-t)dt=\int_{-1}^1 P(u)Q(u)du=\langle P,Q\rangle,$$ le seul argument utilisé étant le changement de variables $u=-t$.