Capes : exercices sur les fonctions dérivables

Exercice 1 - Dérivable ou pas dérivable ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Les fonctions suivantes sont-elles dérivables au point indiqué? $$f(x)=\frac{x}{1+|x|} \textrm{ en }0,\ \ \ g(x)= \left\{\begin{array}{ll} (x-1)&\textrm{ si }x\leq 1\\ (x-1)^2&\textrm{ si }x>1 \end{array}\right.\textrm{ en }1,\quad\quad h(x)=|x|\sin x\textrm{ en }0.$$

Indication

Corrigé

Exercice 2 - Un problème de tangente ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Démontrer que les courbes d'équation $y=x^2$ et $y=1/x$ admettent une unique tangente commune.

Indication

Corrigé

Exercice 3 - Erreur commise ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Majorer l'erreur commise dans les approximations suivantes : $$\mathbf a.\sqrt{10001}\simeq 100;\ \mathbf b. \frac{1}{0,999^2}\simeq 1;\ \mathbf c.\cos 1\simeq\frac12.$$

Indication

Corrigé

Exercice 4 - Suite presque harmonique ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Démontrer que pour tout $x>0$, on a $$\frac1{x+1}<\ln(x+1)-\ln x<\frac 1x.$$
On pose pour tout $n\in\mathbb N^*$ $$v_n=\frac 1{n+1}+\dots+\frac 1{2n}.$$ Démontrer que $$\ln(2n+1)-\ln(n+1)<v_n<\ln(2n)-\ln n.$$ En déduire que $(v_n)$ converge et déterminer sa limite.

Indication

Corrigé

Exercice 5 - Un calcul un peu sophistiqué ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $n\geq 1$ et $1\leq k\leq n$.

Calculer la dérivée $k$-ème de $x\mapsto x^{n-1}$ et $x\mapsto \ln(1+x)$.
En déduire la dérivée $n$-ième de la fonction suivante : $x\mapsto x^{n-1}\ln(1+x).$

Indication

Corrigé

Exercice 6 - Valeur approchée de $\ln 2$ ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soient $f,g:\mathbb R_+\to\mathbb R$ définies par $$g(x)=(x-2)e^{x}+(x+2),\ f(x)=\frac{x}{e^x-1}\textrm{ si }x\neq 0\textrm{ et }f(0)=1.$$

Démontrer que $g\geq 0$ sur $\mathbb R_+$.
Démontrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb R_+$. Que vaut $f'(0)$?
Vérifier que $f''(x)=\frac{e^x g(x)}{(e^x-1)^3}$ pour tout $x>0$. En déduire que $|f'(x)|\leq 1/2$ sur $\mathbb R_+$.
On définit une suite $(u_n)$ par $u_0=0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$. Prouver que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $$|u_{n}-\ln 2|\leq \left(\frac12\right)^n \ln 2.$$

Indication

Corrigé

On va étudier $g$. Pour cela, il faut aller jusqu'à la dérivée seconde! En effet, $g$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb R_+$, avec $g'(x)=(x-1)e^x+1$ et $g''(x)=xe^x$, $x\in\mathbb R_+$. $g''$ est positive sur $\mathbb R_+$, donc $g'$ est croissante sur cet intervalle. De plus, $g'(0)=0$ donc $g'$ est positive sur $\mathbb R_+$. Ainsi, $g$ est croissante sur $\mathbb R_+$ et comme $g(0)=0$, $g$ est positive sur $\mathbb R_+$.
On va appliquer le théorème suivant : si $f$ est de classe $C^1$ sur $I\backslash\{x_0\}$, et si $f'$ admet une limite $l$ en $x_0$, alors $f$ se prolonge en une fonction de classe $C^1$ sur $I$ et $f'(x_0)=l$. Ici, $f$ est déjà définie en $x_0$, et on doit vérifier qu'elle est continue. Mais il est clair que $$\frac{x}{e^x-1}=\left(\frac{e^x-1}{x-0}\right)^{-1}\to (\exp)'(0)=1$$ et donc $f$ est continue en 0. De plus, $f$ est clairement $C^1$ sur $]0,+\infty[$ et on a $$f'(x)=\frac{e^x-1-xe^x}{(e^x-1)^2}.$$ Effectuons un développement limité de $f'$ autour de 0 : $$f'(x)=\frac{1+x+x^2/2+o(x^2)-1-x(1+x+o(x))}{(x+o(x))^2}=\frac{-x^2/2+o(x^2)}{x^2+o(x^2)}\to \frac{-1}2.$$ Ainsi, $\lim_{x\to 0^{+}}f'(x)=-1/2$, ce qui prouve que $f$ est $C^1$ sur $\mathbb R_+$ et que $f'(0)=-1/2.$
Le calcul est aisé, et on en déduit que $f''\geq 0$ sur $]0,+\infty[$, et donc que $f'$ est croissante sur cet intervalle. D'autre part, $f'(0)=-1/2$ et $$f'(x)\sim_{+\infty}\frac{-xe^x}{e^{2x}}=\frac{-x}{e^x}$$ ce qui prouve que $\lim_{+\infty}f'(x)=0$. Ainsi, on en déduit que pour tout $x\in\mathbb R_+$, on a $$-\frac12\leq f'(x)\leq 0$$ ce qui prouve que $|f'|\leq 1/2$ sur $\mathbb R_+$.
Par l'inégalité des accroissement finis, on sait que $|f(x)-f(y)|\leq \frac12 |x-y|$ pour tous $x,y\in\mathbb R_+$. On peut alors démontrer l'inégalité par récurrence sur $n$, le point clé étant de remarquer que $f(\ln 2)=\ln 2$. On peut également conclure en appliquant le théorème du point fixe! En effet, $f(\ln 2)=\ln 2$ et donc $\ln 2$ est l'unique point fixe de $f$ sur $\mathbb R_+$.

Exercice 7 - Polynômes de Legendre ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

On appelle polynômes de Legendre les polynômes $P_n(X)=\left((X^2-1)^n\right)^{(n)}$.

Calculer le degré de $P_n$ et son coefficient dominant.
Pour $0\leq p\leq n$, on pose $Q_p(X)=\left((X^2-1)^n\right)^{(p)}$. Quel est le degré de $Q_p$? Démontrer que $Q_p$ admet deux racines d'ordre $n-p$, et $p$ racines d'ordre 1.
En déduire que $P_n$ s'annule exactement en $n$ points deux à deux distincts de $]-1,1[$.

Indication

Corrigé

Exercice 8 - Un grand classique! ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

On considère $f:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0&\textrm{ si }x\leq 0\\ e^{-\frac{1}{x}}&\textrm{ si }x>0. \end{array} \right.$$

Montrer que $f$ est $C^\infty$ sur $]0,+\infty[$ et que, pour tout $x>0$, on a $f^{(n)}(x)=e^{-\frac1x}P_n(1/x)$ où $P_n\in\mathbb R[X]$.
Montrer que $f$ est $C^\infty$ sur $\mathbb R$.

Indication

Corrigé

Exercice 9 - Théorème du point fixe ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $f:[a;b]\to\mathbb [a,b]$ une application dérivable. On suppose qu'il existe $k\in ]0,1[$ tel que, pour tout $x\in [a,b]$, on a $|f'(x)|\leq k$. On dit que $\gamma\in [a,b]$ est un point fixe de $f$ si $f(\gamma)=\gamma$.

Démontrer que $f$ admet un point fixe.
Démontrer que ce point fixe est unique. On le note $\gamma$.
Soit $(u_n)$ une suite récurrente définie par $u_0\in [a,b]$ et $u_{n+1}=f(u_n)$. Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\gamma$.

Indication

Corrigé

Exercice 10 - Une étude de fonction, fonction réciproque ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\cos(\arctan(2x+1))$.

Étudier le sens de variation de $f$, ses limites en $\pm\infty$.
Résoudre l'équation $f(x)=\frac1{\sqrt 2}$.
Montrer que la restriction de $f$ à $[-1/2,+\infty[$ admet une fonction réciproque $g$ dont on précisera l'ensemble de définition.
Calculer $g'(\sqrt 2/2)$.

Indication

Corrigé

Pour étudier le sens de variation de $f$, on peut dériver la fonction ($f$ est dérivable sur $\mathbb R$) et remarquer que la dérivée vaut $$f'(x)=\frac{-2}{1+(2x+1)^2}\sin(\arctan(2x+1)).$$ Puisque $\arctan(2x+1)$ est toujours un élément de $]-\pi/2,\pi/2[$, et que $\sin u$ est du signe de $u$ si $u\in]-\pi/2,\pi/2[$, $f'(x)$ est du signe opposé à $\arctan(2x+1)$. Mais, $$\arctan(2x+1)\geq 0\iff 2x+1\geq 0\iff x\geq -1/2.$$ Ainsi, $f$ est croissante sur $]-\infty,-1/2[$ et décroissante sur $]-1/2,+\infty[$. D'autre part, $\lim_{x\to +\infty}2x+1=+\infty$. Par composition des limites, $\lim_{x\to+\infty}\arctan(2x+1)=\pi/2$. Par composition à nouveau, $\lim_{x\to+\infty}\cos(\arctan(2x+1))=0.$ La limite et le raisonnement sont identiques en $-\infty$.
On a \begin{eqnarray*} f(x)=\frac1{\sqrt 2}&\iff& \cos(\arctan(2x+1))=\frac 1{\sqrt 2}=\cos(\pi/4)\\ &\iff&\exists k\in\mathbb Z,\ \arctan(2x+1)=\pi/4+2k\pi\textrm{ ou }-\pi/4+2k\pi. \end{eqnarray*} Or, $\arctan$ prend ses valeurs dans $]-\pi/2,\pi/2[$, et $\pi/4+2k\pi$ ou $-\pi/4+2k\pi$ sont dans cet intervalle uniquement pour $k=0$. Ainsi, on doit résoudre $\arctan(2x+1)=\pi/4=\arctan(1)$ et $\arctan(2x+1)=-\pi/4=\arctan(-1)$. Par injectivité de la fonction $\arctan$, ceci revient à $2x+1=1$ ou $2x+1=-1$. Finalement, les seules solutions sont $x=0$ et $x=-1$.
En reprenant le travail effectué à la première question, on obtient que $f'(x)<0$ si $x> -1/2$. Ainsi, $f$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $[-1/2,+\infty[$. On a $f(-1/2)=\cos(0)=1$ et $\lim_{+\infty}f=0$. $f$ réalise donc une bijection de $[-1/2,+\infty[$ sur l'intervalle $]0,1]$. Elle admet une fonction réciproque $g$ définie sur $]0,1]$, et à valeurs dans $[-1/2,+\infty[$.
Puisque $f'$ ne s'annule pas sur $]-1/2,+\infty[$, $g$ est de classe $C^1$ sur $]0,1[$. En plus, en tout réel de la forme $f(a)$, avec $a> 1/2$, on a $$g'(f(a))=\frac{1}{f'(a)}.$$ Or $\frac{\sqrt 2}2=\frac 1{\sqrt 2}=f(0)$. Donc $$g'(\sqrt 2/2)=\frac1{f'(0)}=\frac1{-1\times\sin(\pi/4)}=-\sqrt 2.$$