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hicham alpha

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Union, Inter

Bonjour

J'ai trouvé cela dans une fiche sur les ensembles et je n'ai pas pu le démontrer, pourriez vous m'aider s'il vous plait ?

U_i∈∅ A_i = ∅   et  ∩_i∈∅ A_i =E.

bonne journée

Michel Coste

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Re : Union, Inter

Démontrer quoi ?

Rappel : tous les ensembles A_i sont contenus dans la réunion des A_i.

Dattier

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Re : Union, Inter

Bonjour,

C'est par définition, de la même façon que l'on pose :

$\sum \limits_{a \in \emptyset} a=0$ l'élément neutre de l'addition
$\prod \limits_{a \in \emptyset} a=1$ l'élément neutre pour la mutiplication.

$\emptyset$ est un élément neutre pour la réunion
$E$ l'ensemble totale dans lequel tu travailles est l'élément neutre pour l'intersection.

Et on comprend pourquoi l'on pose cela, en effet l'élement neutre ne change pas le résultat de l'opération.

Bonne journée.

Dernière modification par Dattier (11-10-2018 12:44:29)

Dattier

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Re : Union, Inter

Plus généralement, $\sum$ une opération associative et commutative, on veut conserver si $A\cap B=\emptyset$
$\sum\limits_{a \in A \cup B} a=(\sum\limits_{a\in A} a) \sum (\sum\limits_{b \in B} b)$

Ce qui motive le choix fait.

Dernière modification par Dattier (11-10-2018 13:02:18)

Michel Coste

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Re : Union, Inter

Ah, je n'avais pas vu le [tex]\emptyset[/tex] en indice, ma vue baisse !

En fait, c'est une conséquence de la définition de l'intersection et de la réunion de parties de [tex] E[/tex]

[tex]\bigcup_{i\in I} A_i= \{ x\in E \mid \exists i\in I \ x\in A_i\}[/tex]

[tex]\bigcap_{i\in I} A_i= \{ x\in E \mid \forall i\in I \ x\in A_i\}[/tex]

Tu appliques ces définitions pour [tex]I=\emptyset[/tex] et ça te donne les égalités que tu as écrites.

hicham alpha

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Re : Union, Inter

Merci pour vos réponses.
Alors c'est juste la Definition.

Bonne journée