Forum de mathématiques - Bibm@th.net

hicham alpha

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congruence

bonjour.
merci de m'aider à résoudre un exercice.

on considère l'équation (I) :  2x¹⁰⁰⁹ + x - 1 ≡ 0 [2018]. 
) soit x une solution de (I), déterminer x ∧ 2018.

PS : 1009 est un nombre premier.

bonne journée.

Fred

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Re : congruence

Bonsoir,

  J'espère ne pas écrire de bêtises car je n'ai pas trop réfléchi....
Puisque les diviseurs de 2018 sont 1,2,1009 et 2018, les seuls valeurs possibles pour le pgcd sont 1,2,1009 et 2018.
Maintenant, tu sais que si $x$ est solution, il existe un entier $k$ tel que
$$2018k=2x^{1009}+x-1.$$
Mais si $2$ divise $x$, alors il divise $2018k-2x^{1009}-x$ et donc il devrait diviser $-1$, ce qui n'est pas possible....
Je te laisse continuer....

F.

hicham alpha

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Re : congruence

merci pour votre réponse.

si 1009 divise x, alors il divise 1, ce qui n'est pas possible.
si 2018 divise x, alors il divise 1, ce qui n'est pas possible.
donc, il nous reste que conclure que pgcd(x,2018) = 1. Est ce vrai ?

bonne journée.MERCI