TS-DM Limites

ClemenceL · 31-10-2016 16:50:11

Bonjour ! :)

Alors voilà, je dois rendre un dm en maths, les deux premiers exos, impec's, mais j'me suis retrouvée bloquée sur deux questions du 3e exercice :/
C'est un vrai / faux :
1) Si une suite tend vers 0 alors elle est ou bien minorée par 0 ou bien majorée par 0.
2) Si une suite (Un) est décroissante est minorée par 0 alors elle convergé vers 0.

Je trouve pas vraiment de pistes pour débuter pour les deux propositions, si quelqu'un pouvais me donner une piste :/
Merci d'avance de vote aide :P

freddy · 31-10-2016 18:03:24

Salut,

1 - imagine une suite alternée qui converge vers zéro. Donnes en deux exemples très simples à construire ! Conclusion ?

2 - Là encore, imagine une suite est décroissante et bornée par zéro. Très facile de construire un exemple. Conclusion ?
Sur ce point là, tu touches un élément important que tu verras dans le supérieur : distinction entre maximum et majorant ou minimum et minorant. L'un est unique, l'autre non. Fais un petit graphique, tu verras mieux.
Piste : si la suite est bornée par $0$, elle l'est aussi par $-1$ , non ? Conclusion ?

▼à lire après

ClemenceL · 31-10-2016 20:52:29

freddy a écrit :

Salut,
1 - imagine une suite alternée qui converge vers zéro. Donnes en deux exemples très simples à construire ! Conclusion ?
2 - Là encore, imagine une suite est décroissante et bornée par zéro. Très facile de construire un exemple. Conclusion ?
Sur ce point là, tu touches un élément important que tu verras dans le supérieur : distinction entre maximum et majorant ou minimum et minorant. L'un est unique, l'autre non. Fais un petit graphique, tu verras mieux.
Piste : si la suite est bornée par $0$, elle l'est aussi par $-1$ , non ? Conclusion ?
▼à lire après
Ce qui est certain est que si elle est décroissante et bornée, elle est donc convergente. Mais de là à en déduire la limite ...

Bonsoir, merci de ton aide ^^
J'essaie d'appliquer les conseils que tu m'as donné ;)

ClemenceL · 31-10-2016 21:08:58

Ok, je pense avoir trouvé.
Pour la question 1) j'ai mis:
La suite u(n)= -1ⁿ/n tend mais 0, cependant c'est une suite alternée donc il n'est ni minorée ni majorée. Donc la proposition est fausse'

Pour la 2) j'ai mis:
U(n)=-1/n > C'est une suite décroissante et bornée par 0 donc la proposition est également fausse.

(Je suis moins sûre pour la deuxième proposition).
En tout cas, merci de ton aide ;)

freddy · 31-10-2016 22:18:15

Re,

oui, pour le 1), tu as la suite $u_n=\frac{(-1)^n}{n}$ pour $n \ge 1$ qui converge vers 0 comme $u_n=\frac{\sin n}{n}$.

Pour la 2), ta suite est croissante (eh oui !) et convergente vers 0 ... donc tu as raison de douter :-)
Considère plutôt la suite $u_n =\frac{n+1}{n}$. Elle est décroissante et positive, donc bornée par 0. Elle est bien convergente, mais quelle est sa limite ?

ClemenceL · 01-11-2016 14:31:18

Ok j'ai compris mon erreur.
Donc pour la suite que tu propose, si on simplifie par x (pour éviter une forme indéterminée), on obtient une limite en + l'infini égale à 1, donc au final, la suite est décroissante et minorée par 0, mais converge vers 1. :)

tibo · 01-11-2016 15:59:08

Salut,
Je laisse la main à freddy, mais je voudrais juste m'assurer d'une chose : Qu'entends-tu par "on simplifie par $x$"?

freddy · 01-11-2016 16:59:53

@tibo,

tu as les mains libres et ta question est tout à fait pertinente qui mérite une réponse précise.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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