arbre des probabilités avec 10 boules blanches et n boules rouges

chacha21256 · 22-10-2014 20:03:01

bonjour tout le monde :)
j'ai un exercice sur les probabilités à faire et j'aimerais juste savoir si mon arbre des probabilités est juste ou non :)
l'énoncé est :

une urne contient 10 boules blanches et n boules rouges, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2. On fait tirer à un joueur des boules de l'urne. A chaque tirage, toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 euros et pour chaque boule rouge tirée, il perd 3 euros. On désigne par X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur. Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l'urne.

mon arbre est :
R = boule rouge
B = boule blanche
entre parenthèses, ce sont les probabilités

---(n-1/9+n)---R
---(n/10+n)---R<
---(9/9+n)---B
<
---(n/9+n)---R
---(10/10+n)---B<
---(9/9+n)---B

pouvez-vous me dire si mon arbre est juste svp ? merci d'avance !! :D

Fred · 22-10-2014 20:23:34

Bonjour,

Je ne suis pas d'accord pour une seule des branches : celle qui donne un tirage rouge suivi d'un tirage blanc. Le deuxième probabilité qui intervient n'est pas 9/(9+n)...

Fred.

freddy · 24-10-2014 09:53:10

Salut,

une urne contient 10 boules blanches et n boules rouges.

mon arbre est :
R = boule rouge (-3)
B = boule blanche (+2)
à gauche, ce sont les probabilités.

Comme Fred te l'a dit :

[tex]\frac{n-1}{10+n-1}[/tex] -- R [tex]X= -3-3=-6[/tex]
[tex]\frac{n}{10+n}[/tex] -- R <
[tex]\frac{10}{10+n-1}[/tex] -- B [tex]X= -3+2=-1[/tex]
<
[tex]\frac{n}{9+n}[/tex] -- R [tex]X = +2-3=-1[/tex]
[tex]\frac{10}{10+n}[/tex] -- B <
[tex]\frac{9}{9+n}[/tex] -- B [tex]X= +2+2=+4[/tex]

chacha21256 · 24-10-2014 18:38:44

Je vous remercie beaucoup tous les deux !! :D

l'arbre que vous me proposez est effectivement le premier arbre que j'avais trouvé mais j'ai continué et j'ai fait : 10+n-1 = 9+n

j'imagine qu'il ne fallait pas le faire mais j'aimerais qu'on m'explique pourquoi :)

freddy · 24-10-2014 19:23:41

Re,

pas très claire, ta question ...

Fred · 24-10-2014 20:55:56

Je crois que tu as mal vu...
Ce n'est pas le 9+n que ni Freddy ni moi n'aimons... C'est le 9 au numérateur!

chacha21256 · 24-10-2014 21:45:43

je reprend ma question

j'ai bien vu vos modifications mais j'aimerais que vous m'expliquez comment vous avez fait pour trouvez ces probabilités, car moi, lorsque j'ai trouvé (10+n-1) au dénominateur je me suis dis que 10+n-1 = 9+n ... et je me rend compte que c'est faux, c'est pour ça que je vous demande pourquoi mon calcul est faux

après en ce qui concerne le 9 au numérateur, je reconnais que j'ai fais une erreur mais j'ai compris pourquoi il ne devait pas être la

freddy · 24-10-2014 21:59:35

chacha21256 a écrit :

je reprend ma question
j'ai bien vu vos modifications mais j'aimerais que vous m'expliquez comment vous avez fait pour trouvez ces probabilités, car moi, lorsque j'ai trouvé (10+n-1) au dénominateur je me suis dis que 10+n-1 = 9+n ... et je me rend compte que c'est faux, c'est pour ça que je vous demande pourquoi mon calcul est faux
après en ce qui concerne le 9 au numérateur, je reconnais que j'ai fais une erreur mais j'ai compris pourquoi il ne devait pas être là

tu n'as pas fait d'erreur, [tex]10+n-1 = 9+n[/tex]. Et si tu as compris pour le numérateur, alors c'est parfait.
Je voulais simplement pointer à titre pédagogique ton erreur initiale.

Bonne soirée !

chacha21256 · 24-10-2014 22:12:01

d'accord !! :D
merci d'avoir répondu si vite et de m'avoir beaucoup aidé !! :D
très bonne soirée à vous aussi ;)

chacha21256 · 24-10-2014 22:50:44

recoucou tout le monde x))

toujours pour le même exercice , on me demande de vérifier que l’espérance mathématique de la variable aléatoire X vaut :

E(X) = (-6n²-14n+360) / ( (n+10)(n+9) )

hors j'avoue que là je n'ai pas vraiment d'idée pour prouver ça x)

j'ai tout de même essayé de faire :

P(X=-6) + P(X=-1) + P(X=+4)

= ( 20n / (10+n)(9+n) ) + ( n(n-1) / (10+n)(9+n) ) + ( 90 / (10+n)(9+n) )

= ( 20n + n(n-1) + 90 ) / (10+n)(9+n)

= ( 20n + n² - n + 90 ) / (10=n)(9+n)

= ( n² + 19n +90 ) / (10=n)(9+n)

et ce n'est pas du tout le résultat attendu mais je ne sais vraiment pas quoi faire d'autre ...

pouvez me donner une piste svp ? :)

Choukos · 25-10-2014 00:39:39

Bonjour,
Attention, la formule pour calculer E[X] c'est :
E[X] = "Somme sur les valeurs k possibles pour X" de k * P(X=k)
Tu as oublié le -6, le -1 et le +4 devant chacun de tes trois termes ! :)

EDIT : d'ailleurs tu devrais savoir que la somme que tu as calculé doit faire 1, (et elle fait 1, c'est rassurant).

Dernière modification par Choukos (25-10-2014 14:08:47)

chacha21256 · 25-10-2014 14:19:50

coucou !!

si j'ai bien compris , il faut que je fasse :

( -6 x P(X=-6) ) + ( -1 x P(X=-1) ) + (+4 x P(X=+4) )

c'est bien ca ?

si c'est ca, je ne trouve pas le résultat attendu parce que je trouve à la fin :

( -n² -119n +360 ) / (n+10)(n+9)

freddy · 25-10-2014 15:06:04

chacha21256 a écrit :

coucou !!
si j'ai bien compris , il faut que je fasse :
( -6 x P(X=-6) ) + ( -1 x P(X=-1) ) + (+4 x P(X=+4) )
c'est bien ca ?

Oui, c'est ça.
Donne nous les probas pour chacune des 3 valeurs de X, stp !

chacha21256 · 25-10-2014 15:44:08

ok alors

P(X=-1) = ( 20n / (10+n)(9+n) )

P(X=-6) = ( n(n-1) / (10+n)(9+n) )

P(X=+4) = ( 90 / (10+n)(9+n) )

donc si je fais ( -6 x P(X=-6) ) + ( -1 x P(X=-1) ) + (+4 x P(X=+4) )

on se retrouve avec :

( -6 x P(X=-6) )

= -6 x ( n(n-1) / (10+n)(9+n) )

= (-6n² - n) / (10+n)(9+n)

( -1 x P(X=-1) )

= -1 x ( 20n / (10+n)(9+n) )

= -20n / (10+n)(9+n)

(+4 x P(X=+4)

= +4 x ( 90 / (10+n)(9+n) )

= 360 ( 90 / (10+n)(9+n) )

après si on fait :

( -6 x P(X=-6) ) + ( -1 x P(X=-1) ) + (+4 x P(X=+4) )

= [(-6n² - n) / (10+n)(9+n)] + [-20n / (10+n)(9+n)] + [360 ( 90 / (10+n)(9+n) )]

= ( -6n² - 19n + 360 ) / (10+n)(9+n)

et le résultat attendu est (-6n²-14n+360) / (n+10)(n+9)

freddy · 25-10-2014 18:29:28

Re,

depuis quand [tex]6(n^2-n) = 6n^2-n[/tex] ?????????

chacha21256 · 25-10-2014 20:40:17

moi j'ai fais :

-6 x ( n(n-1))

= -6 x n² -n

= -6n² -n

chacha21256 · 25-10-2014 20:41:01

moi j'ai fais :

-6 x ( n(n-1))

= -6 x n² -n

= -6n² -n

freddy · 25-10-2014 21:03:45

Re,

ton niveau est tout simplement catastrophique ... Comment est-ce possible ? Dans quelle classe es-tu ?

On a [tex]6n(n-1) = 6n^2-6n[/tex] et on a aussi [tex]-6n(n-1) = -6n^2+6n[/tex]

chacha21256 · 25-10-2014 21:38:30

je me suis trompée dans les priorités opératoires ... je viens de voir mon erreur ...

ensuite, on me demande de déterminer les valeurs de n pour lesquelles l'espérance mathématique est strictement positive. Graphiquement et grâce au tableau de valeurs sur la calculatrice, on peut voir que E(X) > 0 lorsque n < ou égale à 6. Mais je ne sais pas comment le prouver algébriquement ...

Choukos · 25-10-2014 22:59:20

Salut,
Tu sais que E[X] = (-6n²-14n+360) / (n+10)(n+9). Tu sais que le dénominateur est strictement positif pour tout entier naturel n. Il suffit donc d'étudier le signe du numérateur pour répondre à ta question et ça tu devrais pouvoir le faire :).

chacha21256 · 26-10-2014 00:06:05

ah d'accord ! :)

oui je sais le faire , merci !! :p

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