Forum de mathématiques - Bibm@th.net

imed1

Invité

cersle inscrit

Bonjour,
un triangle ABC AB=4 BC=5 AC=b l'angle ABC=60°
C(i,r) le cercle inscrit au triangle ABC
calculer l'aire des triangles BIC ,CIA, AIB

freddy

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Re : cersle inscrit

Salut,

tu ramasses les copies quand ?

Imed1

Invité

Re : cersle inscrit

Pour les copies: c'est trop tard.
c'est un exo de seconde que m'a donné ma fille qui paniquait et qui m'a transmis sa panique (d'où la légereté des Salamalek et le manque de littérature).
Quant à l'exo, la panique passé, je crois qu'il suffit d'utiliser que la hauteur de chaqu'un des 3 petits triangles= rayon du cercle inscrit.
"Emna, Maintenant que tu connais Bibmath, n'envoie plus tes exos par mon e-mail."

yoshi

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Re : cersle inscrit

Bonjour,

D'ac... Mais tu aurais pu expliciter  un peu plus ta pensée, ça t'aurait évité de recevoir une réaction épidermique (et justifiée) !

Bon, cela dit.
Je planche sur l'exo, par curiosité :

(...) je crois qu'il suffit d'utiliser que la hauteur de chacun des 3 petits triangles= rayon du cercle

Vi, vi, vi... Yaka !
Et bien, ça ne m'a pas l'air d'être aussi évident que cela à faire pour un élève de 2nde.
J'ai besoin de b...
En 2nde pas possible d'appeler Al Kashi à la rescousse, donc recours à la Géo analytique...
Je prends B comme origine des coordonnées je travaille dans le repère [tex](B, \vec i, \vec j)[/tex] tel que que [tex]\vec i \text{ et } \overrightarrow{BC}[/tex] soient colinéaires et de même sens...
On a donc B(0 ; 0) et C(5 ; 0)...
Si je trace la hauteur [AH] relative à [BC], je détermine un triangle rectangle AHB qui est la moitié d'un triangle équilatéral (puisque [tex]\widehat B = 60^{\circ}[/tex]) :
j'ai donc [tex]AH = \frac{AB\times \sqrt 3}{2} = \frac{4 \times \sqrt 3}{2} = 2\sqrt 3[/tex]
Les coordonnées de A sont donc [tex] A(2\;;\; 2\sqrt 3)[/tex]
D'où [tex]b^2=||\overrightarrow{AC}||^2 = (5 - 2)^2+(0-2\sqrt 3)^2 = 9 + 12 = 21[/tex]  et [tex]b = \sqrt{21}[/tex]

L'aire du triangle ABC est donc [tex]A_{ABC}=\frac{5 \times 2\sqrt 3}{2}=5\sqrt 3[/tex]
Soit r le rayon du cercle inscrit.
Sachant que
[tex]A_{AIB}+A_{BIC}+A_{AIC}=A_{ABC}[/tex]
alors
[tex]\frac{4\times r}{2}+\frac {5\times r}{2}+\frac{\sqrt{21}\times r}{2}=5\sqrt 3[/tex]
D'où
[tex]\frac{9+\sqrt{21}}{2}\times r = 5\sqrt 3[/tex]
ET
[tex]r=\frac{10\sqrt 3}{9+\sqrt{21}}=\frac {10\sqrt 3(9-\sqrt{21}}{81-21}=\frac{90\sqrt 3-30\sqrt 7}{60}=\frac{3\sqrt 3-\sqrt 7}{2}[/tex]

La suite n'est plus que de la routine...
Mais je me retrouve pensif... Certes, ça n'est pas d'une complication extraordinaire, mais il me semble que ça demande déjà une belle et bonne maîtrise technique à un élève de 2nde, non ? Combien, en 2nde, ont cette maîtrise ?

Je vais continuer à cogiter, des fois qu'une solution simple (usant des seuls moyens accessibles en nde) soit possible (je me connais, j'ai toujours été compliqué dans le premier jet).

@+

freddy

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Re : cersle inscrit

Pour les copies: c'est trop tard.
c'est un exo de seconde que m'a donné ma fille qui paniquait et qui m'a transmis sa panique (d'où la légereté des Salamalek et le manque de littérature).
Quant à l'exo, la panique passé, je crois qu'il suffit d'utiliser que la hauteur de chaqu'un des 3 petits triangles= rayon du cercle inscrit.
"Emna, Maintenant que tu connais Bibmath, n'envoie plus tes exos par mon e-mail."

Salut,

si tu nous avais expliqué en quelques mots simples ce que tu viens de dire (première phrase), je puis t'assurer que nous aurions été facilement 3 ou 4 à chercher toute affaire cessante une piste pour aider ta fille.

Même sans faire des phrases inutiles, un minimum d'explications peut susciter un désir d'aider qui s'use au contact de ceux qui balancent leur sujet sur plusieurs sites dans le secret espoir que quelqu'un fera son travail sans autre forme de procès. D'où ma réaction ...

Ici, on part du principe qu'il vaut mieux apprendre à un homme à pêcher que de lui fournir son poisson au quotidien. C'est pourquoi on aime bien savoir ce qui bloque le demandeur.

Tu auras vu dans la réponse de yoshi que c'est assez détaillé et jaugé à l'aune de sa connaissance des programmes du lycée.

Je ne sais si tu apprécies, les Salamalec, quand ils sont sincères, sont goûtés à leur juste valeur (c'est l'huile minimale qui évite que les relations interpersonnelles ne grippent tout de suite).

Le bonjour chez toi.

jpp

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Re : cersle inscrit

salut.

en utilisant les propriétés liées à la construction d'un cercle inscrit dans un triangle.

je trace le triangle équilatéral  BCD   (le coté CD est tangent au cercle inscrit.) chacune de ses hauteurs est égale à r

on en déduit AC = AD = CD =[tex]2r\times\tan{\frac\pi6}= \frac{2\sqrt3}{3}\times{r}[/tex]

et le périmètre de ACD     [tex]p = 2\sqrt3\times{r}[/tex]

ces memes propriétés donnent cette relation    [tex] p = AB + BC - AC  --> AC = b = 5 + 4 - 2\sqrt3\times{r} [/tex]

  alors [tex]b = 9 - 2\sqrt3\times{r}[/tex]

- dans le triangle ABC  , la hauteur AH issue de A  se calcule ainsi:  [tex]AH = AB \times\sin\frac\pi3 = \frac{5\sqrt3}{2}[/tex]

et l'aire du triangle ABC [tex]\mathcal{A}_{ABC} = \frac12\times{AH}\times{BC} = 5\sqrt3[/tex]

mais comme [tex]\mathcal{A}_{ABC} =\mathcal{A}_{AIC} + \mathcal{A}_{BIC} + \mathcal{A}_{AIB} = (5 + 4 + 9 - 2\sqrt3.r)\times{\frac{r}{2}} = (18 - 2\sqrt3.r)\times{\frac{r}{2}} = 5\sqrt3 [/tex]

d'ou l'équation du second degré : [tex]\sqrt3.r^2 - 9r +5\sqrt3 = 0[/tex]  qui donne [tex]r = \frac{3\sqrt3 - \sqrt7}{2} \approx 1.2752[/tex]

il reste à calculer les 3 surfaces  avec  r et les 3 cotés de ABC.

                                                                                                                 à plus.

yoshi

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Re : cersle inscrit

Salut jpp,

Bel effort...
Sensiblement équivalent en longueur et "difficulté" à ce que j'ai proposé...
A un détail  près : j'avais lourdement insisté sur en 2nde !
Or, la résolution d'une équation du 2nd degré, c'est le prog de 1ere, mais tu ne pouvais pas le savoir.

@+