Forum de mathématiques - Bibm@th.net

sedah

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DM Géométrie : Démonstration à reconstituer (2) [Résolu]

bonsoir j 'aurais besoin de vous SVP pour une correction de cet exercice et aussi d 'un petit coup de main
MERCI

ex2
ABCD est un parallelogramme de centre 0
0' est le symetrique de O par rapport à B
C' est le symetrique de C par rapport à D
les droites (AC) et (0'C') se coupent en E
Montrer que E est le mileu du segment [O'C']

demonstration à reconstituer
remettrer dans l 'ordre les propositions suivantes en utilisant des liens logiques " car , donc , et , comme , par consequent,de plus,par suite , par hypothese, d 'apres "...

-P1 : C' est le symetrique de C par rapport à D
-P2 : vecteurDO=vecteurOB=vecteur BO'
-P3 : O est le centre du parallelogramme ABCD
-P4 : O est le centre de gravité du triangle O'CC'
-P5 : la droite (CO) est la droite (AC)
-P6 : D est li mileu de [CC']
-P7 : vectuer OB = vecteur BO' (2)
-P8 : O est le milieu de [BD]
-P9 : O'est le symetrique de O par rapport à B
-P10 : E est le mileu de [O'C']
-P11 : vecteur DO = vecteur OB    (1)
-P12 : (O'D) est une mediane du triangle O'CC'
-P13 : B est le mileu de [ OO']
-P14 : vecteur DO = 1/3 vecteur DO'
-P15 : (CO) coupe le coté [O'C'] en son mileu
-P16 : (CO) est une mediane du triangle O'CC'
-P17 : (CO) coupe (O'C') en E
-P18 : (1) et (2)

voila ce que j 'ai trouvé :
-P1
-P6
-P12
-P9
-P7
-P3
-P13
-P11
-P8
-P2
-P18
-P4
-P16
-P15
-P5
-P10

comme vous pouvez le voir il me manque à placer P14 . P17
est ce que c 'est bon pouvez vous m 'aider à trouver leur places
MERCI
:)

yoshi

Modo Ferox

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Re : DM Géométrie : Démonstration à reconstituer (2) [Résolu]

Bonjour,

Je vais m'y prendre autrement. Je vais rédiger la démo sans les Px, tu vas les retrouver...

Par hypothèse, C' est le symétrique de C par rapport à D,
donc O est le milieu [CC']
Donc (O'D) est une médiane du triangle O'CC'
Par hypothèse, O est le centre du parallélogramme ABCD,
donc O est le milieu de la diagonale [BD]
et par conséquent : [tex]\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}(1)[/tex]
Par hypothèse, O' est le symétrique de O par rapport à B,
donc B est le milieu de la diagonale [OO']
et par conséquent : [tex]\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BO'}(2)[/tex].
On sait maintenant que (1) et (2).
D'où on en déduit que [tex] \overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BO'}[/tex]
Par suite : [tex]\overrightarrow{DO}={1 \over 3}\overrightarrow{DO'}[/tex]
Et par conséquent O est le Centre de gravité du triangle  C'CO'.
Donc (CO) est une médiane du triangle C'CO.
Or, les droites (CO) et (AC) sont confondues,
Donc (CO) coupe [O'C'] en E.
Par suite, E est le milieu de [O'C'].

Pour ce que tu as fait : il y au petit hic : tu dois intervertir P7 et P13 : en effet pour dire que les vecteurs sont égaux, tu as besoin de savoir que B est le milieu de [OO']. Et pour cela, tu dois utiliser la défintion de la symétrie :
symétrie ---> milieu --> vecteurs égaux et non symétrie ---> vecteyurs égaux --> milieu. D'accord ?
Après,
O centre ---> O milieu  --> vecteurs égaux : ce n'est pas ce que tu as fait...

Cet énoncé de toute façon, pour moi est incomplet. Si c'est moi qui l'écrit j'ajoute
P19 (AC) et  (OO') se coupent en E     et ensuite alors ça prend du sens, parce que je continue avec :
Mais comme P5  la droite (CO) est la droite (AC)
Alors P17 (OC) coupe (OC') en E...

Mais bon, ce n'est pas d'une importance vitale. Ton prof a décidé qu'on avait pas besoin de P19, mais ce qui a entraîné le fait que tu n'as su placer le P17.
Enfin le P14 est une conséquence de (1) et (2)...
Il sert à quoi le P14 ? Réponse à pouvoir dire que sur la médiane [O'D] O est placé  à 1/3 de la longueur à partir du milieu du côté, donc aux 2/3 à partir du sommet et qure donc O est le centre de gravité du triangle.
Tu constates qu'on pourrait dire qu'il manque encore des propositions en plus de "ma" P19 ... ;-)

@+

sedah

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Re : DM Géométrie : Démonstration à reconstituer (2) [Résolu]

bonjour et merci , lorque j 'ai essayé de remettre en ordre les phrases grace à votre aide :) j 'ai pu remarquer que nous avons oublié 4 propositions qui sont : P5 ;P6;P12 et P15
Donc j 'ai essayé de placer c 'est 4 propositions manquantes et voilà ce que cela me donne
-P1
-P3
-P6
-P8
-P11
-P9
-P13
-P7
-P18
-P2
-P14
-P4
-P16
-P12
-P15
-P17
-P5
-P10
est ce bon ?
merci :)

yoshi

Modo Ferox

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Re : DM Géométrie : Démonstration à reconstituer (2) [Résolu]

Bonjour,

nous avons oublié 4 propositions[/b]

.
Je ne crois pas avoir oublié quoi que ce soit puisque je n'ai pas cité 18 propositions dans l'ordre, mais que je t'ai écrit :

Je vais m'y prendre autrement. Je vais rédiger la démo sans les Px, tu vas les retrouver...

Remarque : Quel rapport de cause à effet y a-t-il entre P1 et P3 ?
Je t'avais dit tout au début que P1 suivi de P6 c'était correct... Pourquoi changer ?
D'autre part, je t'ai écrit (je reprends en détachant les séquences) :

Par hypothèse, C' est le symétrique de C par rapport à D,
donc D est le milieu de [CC']
Donc (O'D) est une médiane du triangle O'CC'

Ca va ensemble. Après il faut prouver que sur cette médiane, O est placé au 1/3 de la longueur à partir d'en bas (de D) : ce qui se fait en 3 fois (1), puis (2) puis (1) et (2), puis conclusions attendues...

Par hypothèse, O est le centre du parallélogramme ABCD,
donc O est le milieu de la diagonale [BD]
et par conséquent : [tex]\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}(1)[/tex]

Par hypothèse, O' est le symétrique de O par rapport à B,
donc B est le milieu de la diagonale [OO']
et par conséquent : [tex]\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BO'}(2)[/tex].

On sait maintenant que (1) et (2).
D'où on en déduit que [tex] \overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BO'}[/tex]
Par suite : [tex]\overrightarrow{DO}={1 \over 3}\overrightarrow{DO'}[/tex]

Et on enchaîne par :
Et par conséquent O est le Centre de gravité du triangle  C'CO'.

Donc (CO) est une médiane du triangle C'CO.
Or, les droites (CO) et (AC) sont confondues,
Donc (CO) coupe [O'C'] en E.
Par suite, E est le milieu de [O'C'].

Cette fois pour être sûr, j'ai écrit les nos de 1 à 18, puis je les ai rayés au fur et à mesure de ma rédaction : rien n'a été oublié et je n'ai pas l'intention de répéter ce que j'ai écrit encore 10 fois...
Alors lis et relis !

@+

PS :
Ce qui est écrit en italique ne fait pas partie de la démonstration...