Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#26 23-04-2013 10:09:32
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 404
Re : Une colle pour yassine !
Re,
@arfr
Euh... cher ami, j'ai déjà apporté une preuve à 10 h 08 que ça n'était vrai que pour X = 2, et faux en général (preuve pour X = 3 via Python) soit il y a 32 min !
M'enfin c'est pô grave... Voilà une preuve supplémentaire pour X = 1...
Faut penser à lire les réponses des autres avant de poster... ^_^
Mais je pense que freddy a dû s'emballer et extrapoler (la facto donnée) au cas général, sans vérifier.
Reste encore maintenant à montrer que [tex]2^{1007}+2^{504}+1[/tex] est terminé par 5.
Mais, c'est simple.
@+
[EDIT]Avec [tex] 2^{2016}+1[/tex] on peut faire [tex]\left(2^{672}\right)^3+1^3=\left(2^{672}+1\right)\left(2^{1344}-2^{672}+1\right)[/tex]
Je cherchais une astuce comme ça depuis un moment, mais je n'aurais pas trouvé celle proposée : trop particulière : c'était bien vu !
Dernière modification par yoshi (23-04-2013 10:30:32)
Hors ligne
#28 23-04-2013 11:29:03
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Une colle pour yassine !
J'ai vérifié également (j'étais surpris par cette factorisation que je n'avais jamais vue auparavant).
ça ne marche pas pour le cas général. ça marche uniquement lorsque [tex]X=2[/tex] car [tex]2 \times X^{2n+1} = X^{2n+2}[/tex]. Ca reste nénamoins intéressant comme factorisation.
Re,
pardon, en effet, oui , ce n'est que pour [tex]X=2[/tex] puisque on était sur le nombre n° 2. D'ailleurs, en développant, on "voit" immédiatement que ce n'est valable que pour [tex]X = 2[/tex] ...
Par contre, pour bien la voir, j'ai pris le symbole X car je trouvais que c'était beau.
Je vous dirai le nom du mathématicien plus tard :-))
Dernière modification par freddy (23-04-2013 21:39:35)
Hors ligne
#29 23-04-2013 12:10:02
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Une colle pour yassine !
Re,
voilà les p'tits gars Décompositions Aurifeuille ... Si certains connaissent, merci de nous faire partager !
Hors ligne
#30 23-04-2013 18:50:39
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : Une colle pour yassine !
J'ai fini par trouver un article qui détaille ces factorisations.
By the way, la forme générale de cette factorisation est [tex](2y^2)^2+1 = (2y^2 - 2y + 1)(2y^2 + 2y + 1)[/tex], ce qui donne le résultat donné par freddy pour [tex]y=2^n[/tex].
Hors ligne
#31 23-04-2013 19:19:00
- jpp
- Membre
- Inscription : 31-12-2010
- Messages : 1 170
Re : Une colle pour yassine !
salut.
pour le cas (3)
[tex]5^{2015}-1[/tex] est divisible par 4 puisque :[tex]5^{2015}-1 = \left(5^{2014}+5^{2013}+5^{2012}+...+5^2+5+1\right)\times {(5-1)}[/tex] .
donc divisible aussi par 2 , et par 2 fois le premier membre.
Hors ligne
#32 23-04-2013 20:32:29
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : Une colle pour yassine !
salut.
pour le cas (3)
[tex]5^{2015}-1[/tex] est divisible par 4 puisque :[tex]5^{2015}-1 = \left(5^{2014}+5^{2013}+5^{2012}+...+5^2+5+1\right)\times {(5-1)}[/tex] .
donc divisible aussi par 2 , et par 2 fois le premier membre.
ça ne fait que deux diviseurs, il en faut un troisième.
Hors ligne
#33 05-05-2013 20:21:56
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Une colle pour yassine !
Salut,
en furetant un peu, on trouve quelques outils pour résoudre ce joli sujet. Bien entendu, ce sont de beaux outils à la disposition de brillants esprits. Je ne fais que les porter à la connaissance de la noble assemblée de ce site.
Par exemple, pour a, b et n entiers non nuls, on a [tex]a^n-b^n=(a-b)\times \sum_{k=1}^n a^{n-k}b^{k-1}[/tex]
Et si n est impair, en posant [tex]b = -b[/tex], on voit que [tex]a^n+b^n=(a+b)\times \sum_{k=1}^n a^{n-k}(-b)^{k-1}[/tex]
En particulier, en posant [tex]b= 1\, \text{ou}\, b=-1[/tex], on voit que [tex](a-1)[/tex] ou [tex](a+1)[/tex] divise respectivement le premier ou le second nombre.
Derniers éléments, et non des moindres :
pour n et m entiers quelconques, [tex](a^n-1) \land (a^m-1)=a^{n\land m}-1[/tex]
pour n et m entiers impairs quelconques, [tex](a^n+1) \land (a^m+1)=a^{n\land m}+1[/tex]
Nota : [tex]PGCD(a,b)=a\land b[/tex]
Tout ceci devrait permettre à jpp de répondre à la question de yassine :-)
Hors ligne