Forum de mathématiques - Bibm@th.net

karlun

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Re : Seconde dimension ...

'soir,

@ totomm,

"(sans te cacher derrière du code informatique )"

Ah, bigre!
Ben justement...

Ca me ferait plaisir d'éplucher un programme Python concernant la recherche des solutions possibles à ce problème.

Est-ce possible sans recours à une base de données?

A+-*/

totomm

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Re : Seconde dimension ...

Bonjour,

mettez l'observateur en (-1;1) et vous aurez 2 résultats pour n impair plus vite qu'avec les n pairs.

Note : L'observateur est forcément sur des coordonnées rationnelles. J'ai testé les positions de l'observateur avec des pas correspondant à des fractions rationnelles simples, et je n'ai trouvé de solutions que pour des coordonnées entières.
Mais la démonstration que freddy donnera nous en convaincra...  :-)

Cordialement.

totomm

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Re : Seconde dimension ...

Bonjour,

@ Karlun et aux autres aussi : Mais oui c'est possible sans une base de données...Pour en dire plus :

Vous êtes tous convaincus que la programmation apporte une aide formidable qui épargne bien des efforts et corrige bien des erreurs.
Mais il faut d'abord raisonner sur le problème, en voir les démonstrations possibles, les simplifications et les écueils. Ensuite seulement on choisit la méthode, qui peut être démonstration, recherche papier ou recherche sur ordinateur.
Un algorithme "correct", "complet", qui se termine en un temps fini n'est qu'une traduction formelle d'une "démonstration", et ce n'est pas se cacher derrière son code

Pour le problème en cours, mon programme n'est pas "complet" , donc n'est pas une démonstration qu'il n'y a que les 4 solutions que j'ai mises en évidence. Il ne m'a été qu'une aide pour explorer comme chacun a pu le faire "à la paluche", pour voir la relation possible avec les totients, pour voir aussi les irrégularités et les ondulations de la courbe des résultats optimaux en fonction de la position de l'observateur...
Et je suis curieux d'en voir une solution "démontrée complètement"

Le principe de mon programme en PYTHON est simple :
D'abord travailler avec des fractions pour avoir des résultats strictement justes
Pour chaque n :
Pour chaque position d'observateur :
Mettre les pentes de chaque droite entre observateur et maisons dans un set() qui ne conserve que les valeurs uniques des fractions simplifiées. et de suite on a le nombre de maisons vues.
Et pour chaque n, mémoriser le minimum du rapport avec la position correspondante de l'observateur.
Donc 5 "for" imbriqués et 2 minutes pour avoir les résultats jusque n=50 pour 5 rangées de positions de l'observateur avec un PC chip I7 de INTEL (et un peu plus de temps pour avoir un programme correct, sans bug et suffisamment commenté)

Cordialement.

freddy

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Re : Seconde dimension ...

Salut,

l'intérêt est de démontrer pourquoi nous sommes (presque) certain qu'il n'y en a pas plus !

Le second intérêt est de trouver quatre solutions pour n faibles, moyennent un "crayon-gomme" informatique. En effet, on fixe un point et on élimine tous les points sur la même droite sauf le premier.

Et je continue à penser que l'informatique est un redoutable instrument de recherche "manuelle" automatisée, bien utile dans bien des situations (et je n'en doute en aucune manière puisque je m'en sers au quotidien), mais n'arrivera jamais à la hauteur d'un raisonnement qui démontre indubitablement un résultat (et je le vis aussi au quotidien, quand il faut prendre une décision qui peut coûter en cas d'erreur !)

totomm

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Re : Seconde dimension ...

Bonjour à tous,

Quasi-d'accord avec freddy, mais sans négliger que bien des démonstrations "en langage naturel mathématique" (semi-formalisé...) n'ont eu, ces derniers temps, d'aboutissement puis de validation que sur ordinateur qui seul manie sans effort la formalisation la plus poussée et l'examen exhaustif des possibilités (Complétude dans le domaine considéré) quand les cas sont complexes.

Priorité donc au raisonnement, mais libre choix des moyens des démonstrations...Encore que certaines, pour le même problème, soient plus belles que d'autres et donc plus appréciées.

Cordialement.

totomm

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Re : Seconde dimension ...

Bonsoir,

@ jpp : pour n=7, si l'observateur est en (-1,1) il y a 30 maisons vues et 19 masquées. r=0.61224

n = 7 ; pente = 0 ; masqués : 6
n = 7 ; pente = 1/4 ; masqués : 1
n = 7 ; pente = 1/3 ; masqués : 1
n = 7 ; pente = 1/2 ; masqués : 3
n = 7 ; pente = 2/3 ; masqués : 1
n = 7 ; pente = 3/4 ; masqués : 1
n = 7 ; pente = 1 ; masqués : 4
n = 7 ; pente = 3/2 ; masqués : 1
n = 7 ; pente = 2 ; masqués : 1

de même si l'observateur est en (0,1) :
n = 7 ; pente = 0 ; masqués : 6
n = 7 ; pente = 1/3 ; masqués : 1
n = 7 ; pente = 1/2 ; masqués : 2
n = 7 ; pente = 2/3 ; masqués : 1
n = 7 ; pente = 1 ; masqués : 5
n = 7 ; pente = 3/2 ; masqués : 1
n = 7 ; pente = 2 ; masqués : 2
n = 7 ; pente = 3 ; masqués : 1

pour n=11, si l'observateur est en (-1,1) il y a 72 maisons vues r=0.59504
pour n=17, si l'observateur est en (-1,1) il y a 173 maisons vues r=0.59861

Cordialement.

jpp

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Re : Seconde dimension ...

re.

@totomm , j'ai supprimé mon poste j'ai effectivement oublié le trentième dans un coin , ça fait plusieurs jours que je

dessine des petits carrés  et je commence à ne plus rien voir. quelque chose m'échappe.

jpp

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Re : Seconde dimension ...

bonjour.

ce matin je n'ai pas trop de temps mais je vais commencer à expliquer ceci:

tout d'abord  , on sait q'en choisissant un nombre au hazard , on a  1/p  chance qu'il soit divisible par p , premier.

donc si on en choisit 2 , donc une paire , alors on a [tex]\frac{1}{p^2}[/tex] chance qu'ils soient divisibles par p

donc [tex] 1 - \frac{1}{p^2}[/tex] chance qu'ils soient premiers entre  eux.

  donc , dans la position ( 0,0)la probabilité pour l'observateur d'apercevoir  m  maisons parmi n² maisons est

[tex]\prod_{p=2}^\infty \left(1-\frac{1}{p^2}\right) = \frac{6}{\pi^2} [/tex] s'approche de 0.607..

je n'ai pas trop de temps . 

autre chose , lorsque l'observateur se déplace  d'un cran vers ( 0 , 1)  , globalement il a toujours une meme vision
de la ville , la différence se trouve à la périphérie , surtout à sa droite , ou  n-1 maisons deviennent invisibles

alors  le rapport  devient  [tex]\frac{6}{\pi^2} - \frac{n-1}{n^2} ,[/tex]et s'approche de 0.6

mais  comme n est de dimension 1 et  n², de dimension 2 alors le rapport (n-1)/n²
diminuera très vite et il n'y aura plus aucune chance d'avoisiner 0.6

pour les nombres paires  16 et 22  on passe sous la barre des 0.6

(....)                                                                          à plus.

Dernière modification par jpp (29-11-2011 07:55:54)

freddy

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Re : Seconde dimension ...

Salut,

quelle ténacité ! bravo !

C'est OK, on a 4 valeurs possibles (n = 11, 16, 17 et 22) et au delà, pour n grand, le théorème de Cesàro (que tu viens implicitement de citer) permet de dire que le nombre de couple de coordonnées premiers entre elles est strictement supérieur à 60 % des[tex] n^2[/tex] points possibles.

Les positions de l'observateurs sont (1,-1) ou bien (1,0) selon les valeurs de n, à quelques symétries près par rapport au pavé de maison.

Dernière modification par freddy (29-11-2011 11:45:17)

totomm

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Re : Seconde dimension ...

Bonjour,

jpp montre très bien l'évolution du rapport entre n² et "nombre de maisons vues" quand le point de vue est de coordonnées (0,1)

mais la démonstration que c'est le minimum pour tout n n'est pas faite.
En particulier bien des minima se trouvent au point d'observation (-1,1) et peut-être ailleurs ?...
et dans ces cas, aucune formule n'est évoquée

Donc démonstration "pour l'honneur de l'esprit humain..." en rade au tiers de son parcours... :-) bien que l'ordinateur ait suggéré que seules 4 valeurs de n conduisent à un rapport <0.60

Cordialement

freddy

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Re : Seconde dimension ...

Bonjour,

(...)

Donc démonstration "pour l'honneur de l'esprit humain..." en rade au tiers de son parcours... :-) bien que l'ordinateur ait suggéré que seules 4 valeurs de n <= 50 si je me souviens bien ? conduisent à un rapport <0.60

Cordialement

Je suis bien incapable d'évaluer ton niveau d'abstraction et de compréhension de certaines démonstrations comme, par exemple, celle du théorème de Cesàro. En l'espèce, je ne saurai même pas le traduire en code VBA Express 2032.

Bien à toi, mon presque début d'ami (je ne connais pas bien le smiley pour montrer un beau sourire plein d'hypocrisie, si quelqu'un avait une idée ...)