Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

bridgslam · 10-09-2025 23:55:09

Bonjour,

@Bernard , de mon côté je m'intéressais juste à la propriété de ta figure "pleine" (pistil et pétales) en terme d'étoile.
Pour moi elle n'est pas étoilée si on conserve les portions de paraboles sortant des pétales. L'ensemble des points I est alors vide.
Si on les supprime, l'ensemble C des points I, non vide puisque O est dedans, doit être globalement invariant sous l'action de toutes les transformations qui conservent la fleur pleine: rotations et symétries.
J'intuite (peut-être à tort) que C est alors l'étoile à 8 branches centrée en O, dont les 16 côtés sont les tangentes aux pétales à leurs points de rencontres.
L'ironie de l'histoire c'est que l'ensemble des points par rapport auxquels la fleur bornée est étoilée est étoilé (et pour cause).
Cette propriété est-elle toujours vraie ? (Question bonus)...
En tous cas j'espère ne pas dire trop de fadaises.

Ce qui est sûr c'est clairement qu'une partie est convexe ssi elle est étoilée par rapport à tous ses points.
Cela interpellera peut-être aussi les élèves de Boris.
Libre à lui bien-sûr de leur en parler ou pas :-)...

Bonne journée

Dernière modification par bridgslam (11-09-2025 07:41:57)

Bernard-maths · 11-09-2025 07:41:12

Bonjour à tous !

Ma figure est imparfaite, les équation réduites que j'ai données ont été mal tracées par GeoGebra !

J'ai repris en détaillant chacune des 8 équations : y=x², y=-x², x=y², x=-y², (x + y) sqrt(2) - (x - y)² = 0, (x - y) sqrt(2) - (x + y)² = 0, -(x + y) sqrt(2) - (x - y)² = 0, -(x - y) sqrt(2) - (x + y)² = 0. Désolé (presque) pour le ... sqrt(2) ... qui veut dire racine carrée de 2 = 1.4142...

Alors les tracés sont parfaits. Vue d'ensemble et zooms 1 et 2 :

On "voit" que les paraboles ne se recouperont plus en allant vers l'infini. Ensuite on voit 3 fleurs imbriquées et les points A, I et K sur les points de ces 3 fleurs. A, I, K (coordonnées à suivre si vous les voulez, je dois calculer ...)

Alors pour l'étoilement, la(les)qulle(s) choisir ???

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (11-09-2025 07:48:25)

bridgslam · 11-09-2025 07:52:19

Bonjour,

Etant très mauvais en graphismes de mon côté, si tu peux dans la foulée :
- supprimer les lignes s'échappant des pétales
- remplir de couleur jaune toute la fleur ( pleine)
- tracer l'ensemble C dont je viens de parler en la remplissant de bleu: c'est une étoile à 8 branches.

... Ce sera parfait.

Par exemple sur le graphique du milieu...

La tête vers les étoiles et le cœur vers l'Ukraine...

Cordialement

Alain

Dernière modification par bridgslam (11-09-2025 07:57:20)

Borassus · 11-09-2025 09:06:00

Hello everybody !

Pour que les huit paraboles soient davantage visibles :

Bernard, peux-tu expliquer comment tu as déterminé les équations des quatre paraboles à axe $(2k + 1)\dfrac{\pi}{4}$ ?
Je ne connais absolument pas les équations des paraboles en tant que coniques.

Cela m'intéresse beaucoup car je veux montrer ces courbes en expliquant qu'une parabole peut être orientée selon n'importe quel direction, et pas seulement avec un axe de symétrie vertical.
(J'explique systématiquement ce que représente une parabole. On balance aux élèves que la courbe $y=x^2$ est une parabole. Ploum. Sans leur expliquer ce qu'est une parabole, et pourquoi cette courbe est précisément une parabole.)

Plus généralement, comment obtenir une parabole de type $y = x^2$ dont l'axe est orienté d'un angle $\alpha$ quelconque ?

Bernard-maths · 11-09-2025 09:08:20

Je ne vois pas trop ce que tu veux, mais voilà graphiquement ce qu'on peut avoir ... il reste une petite étoile blanche au centre.

Borassus · 11-09-2025 09:12:35

bridgslam a écrit :

Ce qui est sûr c'est clairement qu'une partie est convexe ssi elle est étoilée par rapport à tous ses points.
Cela interpellera peut-être aussi les élèves de Boris.
Libre à lui bien-sûr de leur en parler ou pas :-)...

Bonjour Alain Bridgslam,

Pour que je puisse éventuellement leur en parler, il faudrait que je comprenne moi-même, ce qui n'est pas vraiment le cas.
Peux-tu expliquer s'il te plaît ?

PS : Comme tout un chacun a pu le constater au moins une fois dans sa vie, un con vexe souvent son entourage. :-)

Bernard-maths · 11-09-2025 09:29:49

Salut Boris !

Imagine toi dans une pièce "normale", quel que soit l'endroit où tu es, tu vois tous les murs de son périmètre : elle est convexe !

Si maintenant cette pièce est en forme d'étoile à 6 six branches, si tu es au centre alors tu peux voir tout le périmètre. Mais si tu te déplace "dans" une branche, tu ne peux plus voir certains murs de son périmètre ... (vu ? :-))

Tu vas trouver un ensemble de points (intersection des six branches) d'où tu pourras voir tous les murs. Pour chaque point de cet ensemble on dira que la pièce est étoilée ...

Alors si un ensemble est convexe de tout point on peut voir le périmètre, il est étoilé en tout point !

La réciproque est plus subtile ... si de tout point d'un ensemble on peut voir le périmètre, c'est que cet ensemble est convexe !

Voilà ma vision des choses ...

B-m

PS : pas trop la peine d'en parler aux élèves

Dernière modification par Bernard-maths (11-09-2025 09:31:14)

bridgslam · 11-09-2025 09:32:26

Bonjour,

Bernard, ce n'est pas cela, il s'agit au centre de l'étoile pleine à 8 branches ( 16 côtés ) délimitée par les tangentes aux points où les grands pétales se croisent...
Mais je peux me gourrer sur l'ensemble ciblé, j'ai pensé à ça un peu "au pif".
Merci pour ta coopération.

Borassus:
Pour un de tes croquis en forme de flageolet:

https://www.geogebra.org/geometry/na2cb9ak

La zone hachurée est l'ensemble des points I pour lesquels , pour tout point M dans ton flageolet, [IM] est dans le flageolet.
Le flageolet est en étoile par rapport à chacun de ces points... Comme cette zone ne recouvre pas tous le flageolet, on redécouvre qu'il n'est pas convexe.
Je ne sais pas si c'est plus clair, mais selon l'adage, un dessin vaut mieux qu'un long discours.

En tous cas pour ton exemple d'étoile à 6 branches, Bernard, l'ensemble des points I est l'hexagone plein au centre...

Sinon décris moi ce qui n'est pas clair.
Je pense que tes élèves apprécieront quand ce sera clair : qui se conçoit bien s'énonce clairement...
Merci.

Cordialement

Dernière modification par bridgslam (11-09-2025 10:03:07)

Bernard-maths · 11-09-2025 09:58:05

Est-ce finalement cela ?

Dernière modification par Bernard-maths (11-09-2025 17:24:30)

bridgslam · 11-09-2025 10:07:47

Merci,

En fait il s'agit de l' octogone plein délimité par les 16 tangentes dont j'ai parlé ( 8 sont redondantes, à cause de la symétrie de la figure) ... Pas l'étoile, ça n'a pas de sens.

https://www.geogebra.org/geometry/hewww4nu

L'intérieur de l'octogone J,K, L ... , Q, je sais, pas trop lisible avec toutes ces droites... Je l'ai colorié en bleu, et le contour des grands pétales en jaune.
On vérifie qu'il est bien contenu dans la fleur.

merci pour le boulot, désolé pour l'erreur évidente (pour ne pas dire grossière)...

A+

Dernière modification par bridgslam (12-09-2025 09:16:33)

Bernard-maths · 11-09-2025 10:15:27

Hum ! ... un octogone à 16 côtés est un hexadécagone

Borassus · 11-09-2025 10:45:32

@bridgslam

Voici un croquis illustrant ce que tu énonces :

Je comprends, sans en réalité comprendre le concept d'étoilé et le rapport avec une étoile. Où est l'étoile dans le croquis ci-dessus ?

La définition première d'un ensemble convexe — tout segment appartient à cet ensemble — semble plus aisée à transmettre et à faire comprendre.

bridgslam · 11-09-2025 11:03:17

Bonjour,

@Bernard : c'est l'octogone plein au centre enveloppé par 16 tangentes si tu préfères...

@Borassus: issu d'un point I d'étoilage (s'il existe...) , la figure contiendra toujours "en étoile" les segments [IM], [IM'] etc... ce qui évoque
les nervures des branches d'une étoile de mer ou les rayons d'une étoile ponctuelle si on veut ( l'image vaut ce qu'elle vaut... ).

Ce n'est pas moi qui ai inventé la dénomination.

A+

Dernière modification par bridgslam (11-09-2025 16:04:57)

Borassus · 11-09-2025 11:23:27

Compris. « ( l'image vaut ce qu'elle vaut... ) » Mouais...

Pour revenir à l'objet initial de cette discussion, une fonction est convexe si l'intérieur de la courbe qui la représente — "intérieur" au sens de virage, peu importe le sens dans lequel elle est parcourue — est orienté vers les valeurs croissantes de l'axe portant le résultat ; et une fonction est concave si l'intérieur de la courbe représentant la fonction est orienté vers les valeurs décroissantes de l'axe portant le résultat, et ce QUELLE QUE SOIT L'ORIENTATION DES AXES.

Donc, dans les deux figures ci-dessous, dans lesquelles $Ov$ est l'axe portant la variable et $Or$ est l'axe portant le résultat, la fonction représentée par la courbe verte est convexe, et celle représentée par la courbe rouge est concave.

Il n'y a donc plus de $x$, plus de $y$, plus de "vers le haut", plus de "vers le bas", plus de "au-dessus de", plus de "en dessous de" ... !!

C'est donc CETTE définition que je transmettrai dorénavant !
Mais j'expliquerai auparavant ce que sont graphiquement un ensemble convexe et un ensemble concave, et j'expliquerai que le critères des cordes est en fait une réduction de la définition générale.

Je tiens maintenant un processus explicatif cohérent : définition générale --> définition par les cordes ---> intérieur de la courbe orienté "vers le haut" ou "vers le bas" --> intérieur de la courbe orienté vers les valeurs croissantes ou décroissantes du résultat, quelle que soit l'orientation des axes.

PS : Remarquez que la courbe verte est un "virage à droite" lorsque la variable est parcourue dans le sens des valeurs croissantes, et que la courbe rouge est aussi un "virage à droite".

Dernière modification par Borassus (11-09-2025 11:51:37)

bridgslam · 11-09-2025 13:21:55

@Boris Borassus

Mouais mouais,... sur un forum de maths , hélas, tes appellations "intérieur comme virage à droite" "extérieur comme ceci ou comme cela", etc, ne veulent strictement rien dire.
Non seulement cette prose ne parle pas aux gens qui tentent de faire des mathématiques proprement, mais en effet de bord, cette démarche emprunte du vocabulaire qui existe dans d' autres branches ( topologie par exemple).
J'essaie de débattre personnellement sur des sujets intéressants, quitte comme ici à tenter de faire un parallèle imagé pour faire un pont entre ta représentation mentale des notions et leur dénomination officielle, ce qui n'est pas gagné :
pour moi le mérite des maths est de modéliser des notions plus ou moins concrètes en allant vers l'abstrait, le but n'est pas de faire systèmatiquement le contraire, et au bout du compte on n'est pas psychologue pour tenter de percer les mystères de tes images mentales.
Le cycle perpétuel "comprendre ce que tu veux dire", si tant est que ça ait un sens!, l' "expliquer" ( si on pense comprendre),
en "rediscuter" en fonction des représentations mentales très personnelles et non mathématiques de tes ressentis postérieurs, apprécier (ou pas) l'appréciation que tu en fais etc :
J'avoue que cela devient franchement lassant pour moi.

Remarque: la notion de partie étoilée a sa place dans ce post en rapport à la convexité , ce n'est pas une notion loufoque, loin sans faut.
Tu as le droit de considérer par contre que c'est complètement loufoque versus l'enseignement dispensé à tes élèves, certes, mais mets toi stp 2 secondes à notre place: on ne les connait ni d'Eve ni d'Adam, niveau, acquis, objectifs.. , et le flou est encore plus complet sur le genre de cours que tu leur donnes: sa structure, comment les bases ont été présentées..., le type d'exercices donnés .. De plus on n'est pas censé faire un fil pour tes élèves.
Moi je suis frappé par le fait que tu puisses leur poser des questions chainées sur des notions déjà assez élaborées, tandis qu'à la toute première, qui touche aux bases, un élève sérieux fera la seule réponse possible: "impossible de répondre!".

Bon a-m.

Dernière modification par bridgslam (11-09-2025 16:05:51)

Bernard-maths · 11-09-2025 17:26:08

@Alain,

j'ai modifié l'image du #34

bridgslam · 11-09-2025 18:28:47

Bonsoir,

OK Bernard- A d'autres rencontres géométriques... merci.

Mais à y regarder de plus près il ne s'agit pas des bonnes tangentes, il faut prendre les deux à chaque pétale, au point où les deux pétales voisins se croisent. et donc l'octogone est plus petit.
Un indice d'erreur conste à voir que ton octogone déborde de la fleur, alors que l'ensemble des centres d'une partie P est inclus dans P...
Dernier voeu donc ( bientôt Noël) : les bonnes tangentes, les pétales en jaune, sauf à l'emplacement du petit octogone ensemble des centres de l'étoile-fleur ( en bleu ).

Bonne fin de soirée
Cordialement

Dernière modification par bridgslam (12-09-2025 08:17:32)

Borassus · 12-09-2025 09:40:09

Bonjour bridgslam, bonjour tout le monde,

Pan (rudement) sur le bec ! sans doute pleinement justifié et donnant lieu à solide matière à réflexion !
Effectivement, les parallèles avec les virages étaient tout à fait superflus, et n'ont aucun sens mathématique.

Avant de répondre au fond de ta réaction, ce qui nécessite soin, réflexion et humilité, je tiens à préciser que mon "Mouais" concernait uniquement le mot "étoilée" et non la notion que tu cherches à me, et à nous, transmettre, que je ne considère absolument pas comme "loufoque".
Au contraire, c'est une notion nouvelle, sans doute pour bon nombre d'entre nous, qui permet d'élargir nos horizons de compréhension et de connaissance.

Autant j'ai bien compris, grâce à ton croquis et au mien, la notion pour un ensemble non convexe, autant je ne comprends pas bien pour l'instant comment l'appliquer à la parabole classique convexe.
Dans la figure ci-dessous, que faut-il hachurer ou colorer de façon à ensuite pouvoir choisir n'importe quel point centre de l'étoile ?

Merci de tes éclaircissements.
Bien cordialement,
Bor.

PS : Voici deux pages Wikipédia faisant référence à l'hypographe : https://fr.wikipedia.org/wiki/Hypographe? et https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_concave?

Dernière modification par Borassus (12-09-2025 14:27:32)

Borassus · 12-09-2025 16:38:11

Bonsoir,

J'ai l'impression que ma question était idiote.
C'est comme cela qu'il faut interpréter "l'étoile" ?

Bernard-maths · 12-09-2025 17:23:51

Bonsoir Boris !

Sur ton dessin, la parabole partage le plan en 3 zones : la parabole, "l'intérieur" au dessus, et "l'extérieur" en dessous.

A partir de tout point I intérieur, on peut joindre n'importe quel autre point intérieur Mi par un segment [IMi] contenu dans l'intérieur : on dit que l'intérieur est une partie étoilée pour tout point I. De plus dans ce cas l'intérieur est une partie convexe du plan !

C'est ce qu'a signalé Alain : une parti est convexe <=> elle est étoilée pour chaque point !

Par contre une partie étoilée pour1 point ou pour plusieurs n'est pas (forcément) convexe ...

Ainsi la partie extérieure de la parabole n'est étoilée pour aucun point, elle n'est pas convexe !

Sur ces dessins, on voit que le polygone est étoilé pour le point P mais pas pour Q !

Pour trouver tous les points pour étoiler, on peut tracer les droites supports des côtés, et trouver un ensemble vert des points rendant le polygone étoilé ... bonne cogitation !

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (12-09-2025 17:52:31)

bridgslam · 12-09-2025 18:20:47

Bonsoir,

@Borassus, pas de souci.

Quand on observe un ( vraie ) étoile, ce qui est frappant c'est que du centre, donc d'au moins 1 point , on "rayonne" vers toute la figure.
Pour un ensemble quelconque, si c'est possible par rapport à au moins 1 point, on dit alors qu'il est étoilé par rapport à ce point.
Une personne aveugle avec une canne télescopique placé en un point adéquat d'un espace sécurisé donné, touchant tout ce qu'il veut avec sa canne rectiligne, en restant dans cet espace , ne pourra pas faire le distingo, suis-je au centre d'une étoile, d'un disque ?

C'est une notion affine sans notion de longueur , donc même la longueur de sa canne ne joue pas.
Il y a des figures non étoilées, cercle, couronne , sphère etc
D'autres étoilées avec quelques points, voire tous (convexité)

J'ai posé une petite énigme en rapport sur le forum où la recherche des centres sur un objet en 3D ( diabolo ) est amusante, avec un peu de géométrie en coulisse.

J'essaierai demain de coloriser la fleur (bornée, sans les portions de paraboles qui partent des pétales...), y apparaitra mieux l'octogone des centres de la fleur.
8 tangentes aux pétales forment ses côtés, 8 autres ne touchent que ses sommets
Bonne

Bernard-maths · 13-09-2025 08:14:53

Bonjour !

L'histoire de la canne me fait penser au #32, où je parlais de voir tout le périmètre ou non selon la situation du point.

Voici une figure de fleur à 3 pétales : cette zone orange est-elle etoilable (terme bizarre) ???

B-m

Borassus · 13-09-2025 09:08:55

Bonjour Bernard, bonjour tout le monde,

J'ai dû mettre mes lunettes grossissantes pour mieux voir la figure, tellement elle est petite. :-)

A priori, si j'ai bien compris, une zone "étoilable" serait le triangle reliant les trois points, que ses côtés soient rectilignes ou curvilignes, composés des arcs de cercle non représentés.

A propos de cercles et de disques, un cercle n'est effectivement pas convexe :

mais un disque fermé l'est :

___________

On pourrait malicieusement poser la question inverse : Cette figure

est-elle convexe ?

___________

Non seulement le concept n'est ni loup, ni phoque, mais en plus il peut être amusant. :-)

Dernière modification par Borassus (13-09-2025 09:10:40)

Bernard-maths · 13-09-2025 10:02:41

RE,

les notions de au dessus et en dessous peuvent devenir mathématiques si on dit du côté des y positifs (ou ordonnées positives), ou des y négatifs (ou ordonnées négatives).

Dernière modification par Bernard-maths (13-09-2025 10:07:39)

jelobreuil · 13-09-2025 10:14:30

Bonjour à tous,
Pour ce qui est de la dernière figure de Bernard (#47), j'ai déjà répondu dans la discussion ouverte par bridgslam, et ici, je précise ma réponse : je crois bien que la zone "étoilisante" se limite au deltoïde interstitiel formé par les trois cercles. En effet, soit A, B et C les trois points bleus, et Oc le cercle passant par A et B, et circ. Si je me place par exemple au milieu M du segment AB, donc à l'intérieur du cercle Oc, il y a sur les deux autres cercles Oa et Ob des points que je ne peux pas joindre en ligne droite sans sortir de la figure, par exemple le point situé à l'une des extrémités, la plus proche de moi, du diamètre du cercle Oa parallèle à BC. Ceci ne se produirait pas si les pétales étaient des demi-disques ...
Bien amicalement, JLB

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#26 10-09-2025 23:55:09

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#27 11-09-2025 07:41:12

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#28 11-09-2025 07:52:19

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#29 11-09-2025 09:06:00

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#30 11-09-2025 09:08:20

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#31 11-09-2025 09:12:35

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#32 11-09-2025 09:29:49

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#33 11-09-2025 09:32:26

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#34 11-09-2025 09:58:05

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#35 11-09-2025 10:07:47

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#36 11-09-2025 10:15:27

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#37 11-09-2025 10:45:32

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#38 11-09-2025 11:03:17

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#39 11-09-2025 11:23:27

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#40 11-09-2025 13:21:55

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#41 11-09-2025 17:26:08

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#42 11-09-2025 18:28:47

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#43 12-09-2025 09:40:09

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#44 12-09-2025 16:38:11

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#45 12-09-2025 17:23:51

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#46 12-09-2025 18:20:47

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#47 13-09-2025 08:14:53

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#48 13-09-2025 09:08:55

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#49 13-09-2025 10:02:41

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#50 13-09-2025 10:14:30

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

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