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Bernard-maths

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Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Bonjour à tous !

Pour la suite je donne d'abord les courbes des fonctions :

La représentation graphique donne :

pour f hyperbole en bleu, pour g parabole en vert et pour h hyperbole en rouge.

Deux asymptotes horizontales en tirets bleus et rouges, et une asymptote verticale : l'axe des ordonnées.

On y voit aussi les trois points d'intersection en A, B et C.

Et en A et B des tangentes communes en A à f et g, et en B commune à g et h. Ce qui permet de dire que la fonction p, en noir, est continue et dérivable sur IR.

Maintenant l'objectif est de définir des fonctions indicatrices pour établir une équation cartésienne de la fonction p, définie par morceaux.

Nous utiliserons les fonctions f1, g1 et h1 suivantes :

1°) Commençons avec la fonction h pour ]4 , + ∞[.

Il existe une fonction Indh, dite indicatrice de l'intervalle ]4 , + ∞[, qui vaut 1 sur cet intervalle, et qui vaut 0 en dehors. Je vous propose une méthode qui permet de trouver une expression algébrique d'une telle fonction, en faisant appel à la fonction « basique » signe.

Soit la fonction h1(x) = x – 4. Il existe une fonction signe sh1, qui donne le signe de h1(x) sur IR :
sh1(x) = 1 si h1(x) > 0, sh1(x) = 0 si h1(x) = 0, et sh1(x) = -1 si h1(x) < 0.

Alors ensuite : « enlevons 1, prenons en à nouveau le signe, et ajoutons 1 ». Suivant le tableau :

En ligne 3 on a les valeurs prises par sh1, signe de x – 4. Ligne 4 : on enlève 1, ligne 5 : on en prend le signe par sh2, et ligne 6 : on ajoute 1, ce qui donne Indh.

La dernière ligne donne la fonction Indh : nulle sur ]- ∞ , 4] et égale à 1 sur ]4 , + ∞[.

Une expression de Indh est donc : Indh(x) = signe(signe(x – 4) – 1) + 1.

2°) Continuons avec la fonction f pour ]- ∞, - 2[.

Il existe une fonction Indf, dite indicatrice de l'intervalle ]- ∞, - 2[, qui vaut 1 sur cet intervalle, et qui vaut 0 en dehors.

Soit la fonction f1(x) =  - x - 2. Il existe une fonction signe sf1, qui donne le signe de f1(x) sur IR.

Alors ensuite : « enlevons 1, prenons-en à nouveau le signe, et ajoutons 1 ». Suivant le tableau :

La dernière ligne donne la fonction Indf : égale à 1 sur ]- ∞ , -2[ et nulle sur [-2 , + ∞[.

D'où : Indf(x) = signe(signe(-x-2) – 1) + 1.

3°) Finissons avec la fonction g pour [- 2, 4].

Cette fois les bornes -2 et 4 doivent donner 1 pour Indg ! Donc +1 en ligne 4 !

On utilise la fonction g1(x) = 3 – abs(x-1).

D'où : Indg(x) = signe(signe(3 - abs(x - 1)) + 1).

On obtient ceci :

On voit que les valeurs 1 se succèdent sur la droite d'équation y = 1, avec les points P et Q en vert, alors que les valeurs 0 se superposent sur l'axe des abscisses.

Enfin avec les fonctions f, g et h, puis p :

Pour la fonction p il n'y a plus de traces nulles sur l'axe des abscisses.

Dernière modification par Bernard-maths (13-10-2025 18:16:02)