Dm produit scalaire

yannD · 24-04-2020 18:07:10

$(-\vec u,\vec u) = \pi $ parce que c'est la définition du cours mais pour $(-\vec v,\vec v) $ , même si je le vois sur le dessin, il faut aussi le prouver ? non ?

yoshi · 24-04-2020 18:14:50

C'était vrai pour $(-\vec u,\vec u)$.
Le vecteur $\vec u$ avait-il quelque chose de spécial ou était-il quelconque ?
S'il était quelconque, ça change la propriété que je le rebaptise $\vec v$, $\vec w$, $\vec k$... ?

Les vecteurs $\vec v$ et $-\vec v$ cessent-ils des d'être des vecteurs opposés, parce j'ai remplacé le u par un v ?
$\overrightarrow{AB}$ et $-\overrightarrow{AB}$ sont des vecteurs opposés, mais pas $\overrightarrow{DE}$ et $-\overrightarrow{DE}$ ?

Et l'angle de 2 vecteurs opposés n'est-il pas un angle plat, quelles que soient les lettres employées ?

Tout ça pour dire que, si tu veux redémontrer tu peux, mais c'est totalement inutile : si c'est vrai avec la lettre u, cela restera vrai pour n'importe quelle autre lettre...

Dernière modification par yoshi (24-04-2020 18:23:06)

Zebulor · 24-04-2020 21:02:31

re,
@Yann :
c'est comme dans ta discussion "introduire le nombre dérivé" d'il y a quelques jours avec une variable muette baptisée $t$ ou $h$.
Peu importe la lettre, c'est sa signification qui compte : dans cette discussion $t$ ou $h$ représente physiquement un temps qui s'exprime en secondes, et mathématiquement c'est un nombre.

Ici ce sont des vecteurs ..muets !!

et je salue vénérable Yoshi au passage..

Dernière modification par Zebulor (27-04-2020 12:13:15)

yoshi · 25-04-2020 07:59:14

Ave Zebulor,

J'en rajoute une couche avec un commentaire : sujet (Introduire le nombre dérivé) abandonné en rase campagne...
Il faudra donc qu'on y revienne !

@+

yannD · 25-04-2020 11:41:47

Bonjour Yoshi, je termine la démonstration de la propriété 3
$(\vec u, $$\,-\vec v$$)\, = (\vec u,\vec v ) + (\vec v,$$\,-\vec v$$)$
et puisque les vecteurs $\vec v$ et $-$$\vec v$ ont des sens opposés , des longueurs égales, ce sont des vecteurs opposés donc $(\vec v,$$\,-\vec v$$) = \pi $
D'où : $(\vec u, -\vec v)=(\vec u, \vec v)+\pi$

Dernière modification par yannD (25-04-2020 11:46:44)

yoshi · 25-04-2020 12:04:46

Bon...
C'est bien.

il te reste à prouver que $(-\vec u, -\vec v)=(\vec u, \vec v)$
Mais avant, je te repose une question à laquelle (comme très souvent, tu n'as pas répondu= : comprends tu ce que signifie qu'uné égalité d'angles est vraie $modulo\; 2\pi$ ?

@+

yannD · 25-04-2020 12:32:50

et bien , non j'ai pas trop bien compris , enfin , j'ai compris que l'on pouvait faire plusieurs Tours complet et c'est pour cela que l'on écrit $ k\times 2\pi$ , mais "modulo" , j'ai pas bien compris

yannD · 25-04-2020 12:35:24

et quand j'ai pas bien compris un truc, généralement, j'essaie de pas trop répondre

yoshi · 25-04-2020 13:33:06

Re,

Et quand j'ai pas bien compris un truc, généralement, j'essaie de pas trop répondre

j'avais bien compris... Mais ça ne t'aidera pas beaucoup, ni celui qui te guide...

Prenons, par exemple le cercle trigonométrique.
Si tu y places le point M tel que $((\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})=\dfrac{\pi}{3}$ et le point M' tel que $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM'})$ $=\dfrac{7\pi}{3}$, les points M et M' sont superposés.
Pourquoi ?
Parce que $\dfrac{7\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{6\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+2\pi$

Et on écrira $((\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})=(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM'})\;[2\pi]$
Le $[2\pi]$ se lit : modulo $2\pi$
Avec des nombres tout "bêtes" on écrit $7 = 1\;[2]$, 7 égale 1 modulo 2, ou encore $13 = 7\;[2]$ les restes sont les mêmes dans la division par 2.

Pour revenir aux angles on dira $((\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})=(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM'})\;[2\pi]$, soit : à $2\pi$ près :
Deux angles orientés sont dits égaux si leurs mesures diffèrent de $2\pi$ : $2\pi=4\pi$.
$2\pi= 0$, $2\pi=4\pi$, $4\pi=6\pi$... Tous ces angles peuvent être ramenés à 0...
Donc $0=2\pi=4\pi=6\pi\cdots\;[2\pi]$

De même :
$\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{3}=\dfrac{13\pi}{3}=\dfrac{19\pi}{3}=\cdots\; [2\pi]$

C'est aussi vrai avec des négatifs :
$-\dfrac{5\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+\left(-\dfrac{6\pi}{3}\right)=\dfrac{\pi}{3}-2\pi$
Donc
$-\dfrac{5\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}\;[2\pi]$

$-\dfrac{11\pi}{3}=-\dfrac{5\pi}{3}+\left(-\dfrac{6\pi}{3}\right)=-\dfrac{5\pi}{3}-2\pi$
Donc
$-\dfrac{11\pi}{3}=-\dfrac{5\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}\; [2\pi]$.

Tout ça pour te dire que si dans une somme d'angles orientés tu arrives à $\pm 2\pi,\; \pm 6\pi,\; \pm 8\pi\cdots$ tu peux remplacer par 0...

Résumé des deux démos précédentes :
$(-\vec u, \vec v)= (\vec u, \vec v)+\pi$
$(\vec u, -\vec v)= (\vec u, \vec v)+\pi$

Maintenant, le dessert, montre que :
$(-\vec u, -\vec v)= (\vec u, \vec v)$

@+

Dernière modification par yoshi (26-04-2020 16:13:10)

yannD · 25-04-2020 16:35:04

Bonsoir Yoshi, je ne comprends pas comment tu trouves $\frac{6\pi}{3}$ , peux-tu m'expliquer , s'il te plait ?

yoshi · 25-04-2020 18:35:52

Salut,

J'ai $\dfrac{\pi}{3}$ (J'espère que tu n'as pas oublié que $\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1\pi}{3}$ ?) et $\dfrac{7\pi}{3}$

1ere façon de voir les choses.
Je veux décomposer le 7 en une somme de 2 entiers (relatifs) m et n, tels que n soit un multiple de 3 (n=3p)
Pourquoi ?
Pour pouvoir écrire $\dfrac {m+n}{3}=\dfrac {m+3p}{3}=\dfrac {m}{3}+\dfrac {3p}{3}=\dfrac {m}{3}+p$
Mais je voudrais aussi que p soit un multiple de 2... Donc n doit aussi être multiple de 2.
Le premier multiple de 2 et 3 est 6...
Donc j'écris : $\dfrac{7\pi}{3}=\dfrac{(1+6)\pi}{3}=\dfrac{\pi+6\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{6\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{pi}{3}\;[2\pi]$

2e façon de voir les choses.
Avec $\dfrac{25\pi}{3}$ : je veux absolument arriver à trouver k (s'il existe !) tel que $\dfrac{25\pi}{3}$ s'écrit :
$\dfrac{25\pi}{3}=\dfrac{(1+n)\pi}{3}$
On résout 25=1+n, qui donne 24.
Donc
$\dfrac{25\pi}{3}=\dfrac{(1+24)\pi}{3}=\dfrac{\pi+24\pi}{3}=\dfrac{\pi+24\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{24\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+8\pi$, mais $8\pi$ ou $2\pi$ supplémentaires n'empêchera pas le point M' tel que $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM'})= \dfrac{25\pi}{3}$ de se superposer au point M tel que $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})= \dfrac{\pi}{3}$ (4 tours de plus ou 1 tour de plus ne changent rien à l'affaire)
$\dfrac{25\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}\;[2\pi]$...

3e façon de voir les choses.
Ma préférée, parce que je suis paresseux et que j'aime me servir de Python...
Je lance Python et je lui demande :
print(divmod(25,3)) et il me répond (8,1) ce qui veut dire q=8 et r=1, $25= 3\times 8+1$
Donc $\dfrac{25\pi}{3}=\dfrac{(1+3 \times 8)\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{3 \times 8\times\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+4\times 2\pi$

Deux nombre m et n sont égaux modulo un 3e nombre p, si m et n ont le même reste dans la division par p :
$243 = 507 = 3\;[8]$ Dans la division par 8, 243 et 507 ont le même reste (3) : ils sont égaux modulo 8.
Donc : $\dfrac{243\pi}{8}=\dfrac{507\pi}{8}=\dfrac{3\pi}{8}\;[8]$

N-B : j'ai retouché mon post précédent, il est maintenant totalement compréhensible...

@+

yannD · 26-04-2020 15:51:46

Bonjour Yoshi , j'espère ne pas te déranger pour cet après-midi mais i l y a un truc que je ne comprends toujours pas, c'est pour ton post précédent. Donc tu as placé un point M tel que $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM}) = \frac{\pi}{3}$ , j'ai divisé le demi-cercle en 3 et j'ai placé le point M , donc jusque là d'accord . Pour que le point M' soit superposés il faut que la mesure de l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM'} $ soit la même que celle de l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM}) $ , parce que ce n'est pas écrit au début du post 134.

Dernière modification par yannD (26-04-2020 15:52:18)

yoshi · 26-04-2020 16:00:25

Ave,

J'ai écrit $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM'})=\dfrac{7\pi}{3}$ (soit $\dfrac{\pi}{3}+2\pi$)...
je vais aller voir, si dans les corrections successives ça n'aurait pas sauté...

@+

yannD · 26-04-2020 17:13:31

je suis en train de regarder le détail de ton calcul où tu cherches un multiple de 3 , tu as bien expliqué.. mais j'ai un peu de mal à le comprendre
quand tu écris $\dfrac{m+n}{3} = \dfrac{m+3p}{3} $
moi je fais fausse route :
si tu me dis : $\dfrac{m+n}{3}$ , moi je continue comme ça : $ \dfrac{m+n}{3} = \dfrac{m}{3}+\dfrac{n}{3}$

Dernière modification par yannD (26-04-2020 17:19:10)

yoshi · 26-04-2020 17:37:13

Re,

$\dfrac{m+n}{3} = \dfrac{m+3p}{3} $

Demande-toi pourquoi j'ai remplacé n par 3p...
Un multiple de 3 s'écrit 3p, 3u, 3a, 3g... ce que tu veux, mais 3 fois une variable...
Je cherche à écrire $\dfrac{m+n}{3}$ sous la forme $\dfrac{m}{3}+\text{ nombre entier}$
Si ce nombre entier je l'appelle p, alors
$\dfrac{m}{3}+p=\dfrac{m}{3}+\dfrac{3p}{3}=\dfrac{m+3p}{3}$...
Voilà pourquoi j'ai utilisé le fait que n devait être un multiple de 3...
D'ailleurs, tu arriverais aussi à la même conclusion en partant de ta décomposition (pas d'erreur) :
$\dfrac{m+n}{3}=\dfrac{m}{3}+\dfrac{n}{3}$
Arrivé là, il suffit de se demander à quelles condition la fraction $\dfrac{n}{3}$ est-elle égale à un nombre entier...
La réponse coule alors de source : il faut et il suffit que n soit un multiple de 3 : alors il existe un entier p tel que n = 3p...
D'où :
$\dfrac{m+n}{3}=\dfrac{m}{3}+\dfrac{n}{3}=\dfrac{m}{3}+\dfrac{3p}{3}=\dfrac{m}{3}+p$

Ça te va ?

@+

yannD · 27-04-2020 09:29:41

Bonjour Yoshi, pour prouver que $($$-\vec u$$, -\vec v)=(\vec u, \vec v)$ , est-ce que je décompose l'angle de vecteurs $($$-\vec u$$, -\vec v)$

Dernière modification par yannD (27-04-2020 09:33:30)

yoshi · 27-04-2020 10:03:59

Salut,

Tu vois une autre solution que la relation de Chasles ?
D'autre part, afin que tu ne perdes pas le fil, j'avais écrit post #134 :

Résumé des deux démos précédentes :
$(-\vec u, \vec v)= (\vec u, \vec v)+\pi$
$(\vec u, -\vec v)= (\vec u, \vec v)+\pi$
Maintenant, le dessert, montre que :
$(-\vec u, -\vec v)= (\vec u, \vec v)$

Et ce n'était pas un rappel de routine, je t'envoyais ainsi un message au lieu de "montre que" (pas assez transparent pour toi), j'aurais pu écrire "en déduire que"... ^_^

Quand tu seras au bout, on travaillera alors sur les angles orientés avec les fonctions trigo...

@+

yannD · 27-04-2020 17:24:51

Bonsoir Yoshi , j'ai envi d'essayer ça :
puisque $($$-\vec u$$,\vec v) = \pi+ (\vec u,\vec v)$
$(\vec u,$$-\vec v$$) = (\vec u,\vec v)+\pi $
alors $ ($$-\vec u$$,\vec v) =(\vec u,$$-\vec v$$)$
d'où : $(-\vec u,\vec v) -(\vec u,-\vec v) = 0$

Zebulor · 27-04-2020 17:34:06

Bonsoir,
Comme Yoshi n'est pas là, j' mets ma pincée de sel

yannD a écrit :

d'où : $(-\vec u,\vec v)=(\vec u,-\vec v)$

A partir de là un petit raisonnement et c'est fini, car $\vec v$ (ou $\vec u$) sont des "vecteur muets"

Dernière modification par Zebulor (27-04-2020 17:55:13)

yoshi · 27-04-2020 18:39:50

@ Zebulor
Dear sir,

Si, je suis là !
J'attends le jour où il cessera de s'arrêter en route pour aller au bout de son idée...

Je lui ai demandé de partir de $(-\vec u, -\vec v)$ de décomposer cet angle avec la relation de Chasles.
Je ne vois pas le début du commencement du respect de cette consigne.
Il sait déjà que :
$(-\vec u, \vec v)=(\vec u, \vec v)+\pi$
$(\vec u, -\vec v)=(\vec u, \vec v)+\pi$

Et en outre que
$(-\vec u, \vec u)=\pi$, donc que $(\vec u, -\vec u)=\pi\;[2\pi]$

Et comme tu aimes à le répéter u est muette, alors je peux écrire v à la place :
$(-\vec v, \vec v)=\pi$, donc $(\vec v, -\vec v)=\pi\;[2\pi]$

Et dear Sir, ce soir, je suis probablement bouché, mais je ne vois pas où tu veux en venir...

Au fait, ta connaissance de Python, elle avance ?

@+

Zebulor · 27-04-2020 20:49:10

@Yoshi,
Cher vénérable,

d'autant qu'il était bien parti me semble t il. Mais il ne l'a pas fait par la relation de Chasles..Dont acte.

Alors où voulais en venir ? Sachant que $\vec u$ et $\vec v$ sont quelconques, est ce que les égalités suivantes ne sont pas équivalentes :

$(-\vec u,\vec v)$=$(\vec u,-\vec v)$ et $(\vec u,\vec v)$=$(-\vec u,-\vec v)$ ?

Je n'ai pas pythonné cet hiver ... hormis un petit programme ..qui fonctionne..de calcul d'intégrale par la méthode des trapèzes, pour lequel je me suis d'ailleurs demandé jusqu'à quel finesse de pas je pouvais aller. J'étais en stage tout l'hiver à faire des maths et de la physique...et à heure qu'il est je suis encore dedans..

Dernière modification par Zebulor (28-04-2020 08:38:16)

yannD · 28-04-2020 09:22:28

Bonjour, oui, j'ai fait fausse route ...
j'ai vu : $(-\vec u, \vec v)=(\vec u, \vec v)+\pi$
$(\vec u, -\vec v)=(\vec u, \vec v)+\pi$
et j'en ai déduis :$(-\vec u, \vec v) = (\vec u, -\vec v) $

yoshi · 28-04-2020 10:16:40

@zebulor
Pour le calcul intégral via Python, puis-je te suggérer l'approximation de $\pi$ :
$\pi=4\displaystyle{\int_0^1}\dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm d x$
Méthodes
Par ordre de précision croissante :
Rectangles<Trapèzes<Tangentes<Simpson (http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … _meth.html)

Puisque tu veux tester la précision, puis-je te suggérer de te pencher sur le module decimal de Python :

https://docs.python.org/3/library/decimal.html

Un exemple d'emploi pour le calcul d'une racine carrée avec n décimales (140 dans l'exemple).
On peut utiliser une boule for mais le nombre d'itérations nécessaires reste une estimation.
Je pensais ma boucle while être une solution : elle aurait dû l'être, mais ton test d'arrêt ne fonctionne pas pour certains nombres : 7, 14, 19, 38...
J'ai trouvé pourquoi, mais pas encore comment corriger sans remettre quelques lignes disgracieuses...

from time import time

from decimal import Decimal as D,getcontext

getcontext().prec=140

def rac(n):

    u=D(2)

    u0=D(1)

    i=0

    while u0!=u:

        u0=u

        u=(u**2+D(n))/(u*D(2))

        i+=1

    return u,i

debut=time()

radicande = 123# Donner le nombre dont vous recherchez la racine carrée

u,i=rac(radicande)

print (u)

print("Nombre d'Itérations :", i)

print("effectuées en :",time()-debut,"s")

Sortie :

11.090536506409417162051600102609932918463376742454020022877312839085001633101289605233456079595210492397609680678955280792187905933115292625
Nombre d'Itérations : 11
effectuées en : 0.02000117301940918 s

@+

Zebulor · 28-04-2020 11:10:42

@yoshi:
je vais tester ce que tu me proposes. merci beaucoup

@yann : tu as fait fausse route ? où çà?

yannD a écrit :

Bonjour, oui, j'ai fait fausse route ...
j'ai vu : $(-\vec u, \vec v)=(\vec u, \vec v)+\pi$
$(\vec u, -\vec v)=(\vec u, \vec v)+\pi$
et j'en ai déduis :$(-\vec u, \vec v) = (\vec u, -\vec v) $

Est ce que ce que tu en as déduit ne revient pas au même que : $(\vec u, \vec v) = (-\vec u, -\vec v) $ ?

Dernière modification par Zebulor (28-04-2020 11:17:19)

yannD · 28-04-2020 12:18:00

$($$-\vec u$$,\vec v) $ : c'est l'angle avec le vecteur $-\vec u$ qui est l'opposé du vecteur de $\vec u$ de l'angle des vecteurs $(\vec u,-\vec v) $
et $($$-\vec u$$,\vec v) $ : c'est aussi l'angle de vecteurs avec le vecteur $\vec v$ qui est l'opposé du vecteur $-\vec v$ de l'angle des vecteurs $(\vec u,$$-\vec v$$) $

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#126 24-04-2020 18:07:10

Re : Dm produit scalaire

#127 24-04-2020 18:14:50

Re : Dm produit scalaire

#128 24-04-2020 21:02:31

Re : Dm produit scalaire

#129 25-04-2020 07:59:14

Re : Dm produit scalaire

#130 25-04-2020 11:41:47

Re : Dm produit scalaire

#131 25-04-2020 12:04:46

Re : Dm produit scalaire

#132 25-04-2020 12:32:50

Re : Dm produit scalaire

#133 25-04-2020 12:35:24

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#134 25-04-2020 13:33:06

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#135 25-04-2020 16:35:04

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#136 25-04-2020 18:35:52

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#137 26-04-2020 15:51:46

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#138 26-04-2020 16:00:25

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#139 26-04-2020 17:13:31

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#140 26-04-2020 17:37:13

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#141 27-04-2020 09:29:41

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#142 27-04-2020 10:03:59

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#150 28-04-2020 12:18:00

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