Forum de mathématiques - Bibm@th.net

yannD

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Re : Dm produit scalaire

Bonjour Yoshi, je t'ai fait travaillé tard hier.. Cette phrase , je n'ai jamais réussi à l'apprendre et aussi, c'est une phrase que je n'ai pas voulu retenir en 3e, je sais pas pourquoi ? Il n'y a que pour le cosinus que j'arrive à retenir que c'est le coté adjacent / hypoténuse , et c'est grâce à toi, avec l'exercice que tu m'as donné cet été où il fallait d'abord mesurer le coté adjacent. J'ai commencé  à répondre au # 224, et comme tu ne l'as probablement pas vu , je réécris :
$\sin(x) = \dfrac{MH}{OM}$ et $\cos (90-x) =\dfrac{MH}{OM}$

$\cos(x) = \dfrac{OH}{OM} $ et $\sin(90-x) = \dfrac{OH}{OM}$

Dernière modification par yannD (07-05-2020 08:43:30)

yoshi

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Re : Dm produit scalaire

Re,

Mais si, j'avais vu...
Petit retour sur les bases...

1. Les angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires = leur somme vaut 90° (ou $\dfrac{\pi}{2}$)
2. Pour $0<x<90$, $x$ et $90-x\;\left(\text{ou encore }\dfrac{\pi}{2}-x\right)$ peuvent être les mesures des angles aigus d'un triangle rectangle.
3. Et on voit que, dans le triangle rectangle, le sinus d'un des angles aigus est égal au cosinus de l'autre, et réciproquement...
4. Mais ce résultat est généralisable quel que soit x (donc même pour x supérieur supérieur à 90°  ($\dfrac{\pi}{2}$).
    Ex : $x=\dfrac{2\pi}{3}$  et  $\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{3\pi}{6}-\dfrac{4\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{6}$
          $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac 1 2$  et  $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac 1 2$

A quoi sert tout ce que je te fais tester ?...
Normalement, on te demandera de connaître par cœur les réponses aux 4 questions p.7 #166 bas de page.
Personnellement, Lycéen, je me suis refusé à les apprendre par cœur, quand avec le dessin à main levée du cercle trigo, je pouvais les retrouver : les réponses figurent toutes parmi $\cos(x),\; \sin(x),\; -\cos(x),\; -\sin(x)$...
Donc, je te montre cela afin que, si le moment venu tu décidais de les apprendre par cœur, tu sois prêt en cas de mémoire défaillante, à pouvoir pallier cette défaillance...

Reste maintenant $\sin^2(x)+\cos^2(x)= ?$ En restant dans le triangle rectangle, c'est très simple. (ce résultat aussi est vrai quel que soit x)...

@+

yannD

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Re : Dm produit scalaire

$\sin (x) = \frac{HM}{OM} $ et $\cos(90-x) = \frac{MH}{OM}$ donc $\sin(x) = \cos(90-x)$

$\cos (x) =\frac{OH}{OM}$   et $\sin (90-x) = \frac{HO}{OM}$ donc $\cos(x) = \sin(90-x) $

$\sin^2(x)+\cos^2(x)=  \left(\frac{HM}{OM}\right) ^2 + \left(\frac{OH}{OM}\right)^2  = HM^2 + OH^2$ avec OM = 1 = rayon

yoshi

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Re : Dm produit scalaire

Re,

On se fiche du rayon : encore une fois, on travaille avec un triangle rectangle quelconque.
$\sin^2(x)+\cos^2(x)=  \left(\dfrac{HM}{OM}\right) ^2 + \left(\dfrac{OH}{OM}\right)^2  = \dfrac{HM^2}{OM^2}+\dfrac{OH^2}{OM^2}=\dfrac{HM^2+OH^2}{OM^2}=\, ?$

Et après ?

@+

yannD

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Re : Dm produit scalaire

puisque $HM^2 + HO^2 = OM^2 $

$ \sin^2(x) + \cos^2(x) = \dfrac{HM^2 + OH^2 }{OM^2} = \dfrac{OM^2}{OM^2} $

yoshi

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Re : Dm produit scalaire

Tu peux, un jour au moins, penser à finir le boulot ?
$\dfrac{OM^2}{OM^2}=\; ? $

yannD

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Re : Dm produit scalaire

j'hésite

yannD

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Re : Dm produit scalaire

si OM = 5 , au carré , c'est 25 et 25 sur 25 c'est 1

yoshi

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Re : Dm produit scalaire

Ah bon ?
Bin, finalement t'as raison d'hésiter : moi aussi dorénavant, quand je tomberai sur une question de ce type : $\dfrac{25}{25}=\: ?,$ je vais hésiter, puis interroger ma calculette...

yannD

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Re : Dm produit scalaire

si je divise un nb par le même nombre , c'est toujours 1
donc $OM^2$/$OM^2$  = 1
et $\sin(x)^2 + \cos(x)^2 = 1$

Dernière modification par yannD (07-05-2020 17:40:58)

yoshi

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Re : Dm produit scalaire

Re,

Y avait de quoi hésiter ?

Maintenant on revient aux angles orientés.
A partir de ce dessin https://www.cjoint.com/c/JEgre6Ln08W :
1. Tu places sur [OJ], le point K tel que $(MK)\perp (OJ)$
2. Tu places sur le cercle le point M' tel que $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM'})=\dfrac{\pi}{2}+x$
3. Tu places sur  [OJ], le point K' tel que $(M'K')\perp (OJ)$
4. Tu places sur [OI'] le point H' tel que $(M'H'')\perp (OI')$

Et tu me montres ton dessin.

S'il est bon, alors tu répondras aux questions
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x)\right)=\;?$

$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x)\right)=\;?$

Ainsi que je te l'ai dit, les réponses sont parmi ces 4 :
$\sin(x),\;\cos(x)\;-\sin(x),\;-\cos(x)$

@+

yannD

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Re : Dm produit scalaire

https://zupimages.net/viewer.php?id=20/19/e092.png

$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) = \overline{OK'}$       et      $\cos(x) = \overline{OH}$

$ \overline{OH} =  \overline{OK'}$

  $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)= \cos(x)$

yoshi

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Re : Dm produit scalaire

$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)= \cos(x)$ oui

yannD

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Re : Dm produit scalaire

$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\; -\overline{OH}$

yoshi

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Re : Dm produit scalaire

1. Il manque un point sur ton dessin
2. $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\; -\overline{OH}$ non

yannD

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Re : Dm produit scalaire

$\overline{OH}=\overline{OH′}$

Dernière modification par yoshi (08-05-2020 06:16:40)

yoshi

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Re : Dm produit scalaire

Non

yannD

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Re : Dm produit scalaire

Bonjour Yoshi, oui, et bien , hier soir, j'ai répondu en regardant "les visiteurs" à la télé , et je me suis trompé sur la position de M sur le cercle....

$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) = \overline{OK"} $       et      $\sin(x) = \overline{OK'}$

$\overline{OK"} = \overline{OK'}$

$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) = \sin(x)$

yoshi

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Re : Dm produit scalaire

Sur ton dessin, on ne voit pas de K", ce point ne sert à rien et ne correspond pas à ce que je t'ai demandé.
Je cite :

A partir de ce dessin https://www.cjoint.com/c/JEgre6Ln08W :
1. Tu places sur [OJ], le point K tel que $(MK)\perp (OJ)$
2. Tu places sur le cercle le point M' tel que $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM'})=\dfrac{\pi}{2}+x$
3. Tu places sur  [OJ], le point K' tel que $(M'K')\perp (OJ)$
4. Tu places sur [OI'] le point H' tel que $(M'H')\perp (OI')$

De toute façon :
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) = \sin(x)$ : NON.

Ce n'est pas juste et de plus c'est un non-sens : ouvre-mieux les yeux !

yannD

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Re : Dm produit scalaire

$\overrightarrow{OH'} = k'\times \overrightarrow{OI'} $
et k' est la mesure de OH' avec un signe + si H' est entre O et I et avec un signe - si H' est entre O et I'

donc c'est -k et $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)= - k$ et $\sin(x) = k $ donc $ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)= -\sin(x)$

Dernière modification par yannD (08-05-2020 17:57:59)

yoshi

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Re : Dm produit scalaire

Ah ! quand même...
Résumé :
$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)= \cos(x)$

$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)= -\sin(x)$

----------------------------------

Maintenant
$ \sin(\pi-x)=\,  ?$   et  $\cos(\pi-x)=\,  ?$

Puis :
$ \sin(\pi+x)=\,  ?$   et   $\cos(\pi+x)=\,  ?$

yannD

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Re : Dm produit scalaire

https://zupimages.net/viewer.php?id=20/19/30v6.png

$ \sin(\pi-x)=\,\overline{OK}$ et  $\cos(\pi-x)=\,  \overline{OH'}$

Dernière modification par yannD (08-05-2020 19:46:21)

yoshi

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Re : Dm produit scalaire

Rappel.
Je ne réagis plus aux réponses partielles et incomplètes.
Où est H' ?.
Et corrige ton cosinus s'il te plaît.

yannD

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Re : Dm produit scalaire

https://zupimages.net/viewer.php?id=20/19/2lm6.png
J'ai placé H'.

$ \cos(\pi-x) = \overline{OH'} $ et $\cos(x) = \overline{OH}$

$\overline{OH} = -\overline{HO}$  donc

Dernière modification par yannD (08-05-2020 19:47:30)

yannD

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Re : Dm produit scalaire

Bonjour Yoshi , je n'arrive pas à montrer que $\overline{OH'}$ est négatif
mais à la lecture sur le cercle , je vois bien que $\cos(\pi-x) = \cos(x)$

Dernière modification par yannD (09-05-2020 09:24:05)