Révisions (1ère ) pendant la fermeture des écoles

Zebulor · 20-03-2020 18:27:40

Re,
@Yoshi : daccord. Je n'avais pas lu cette fonction h4 de ton post 58;
Bref. Parenthèse..
@Yann : on peut être "archi nul " en 4e mais ce n'est pas rédhibitoire pour la suite.. certains sont mauvais en lycée mais deviennent très bons quand ils deviennent étudiants.

Dernière modification par Zebulor (20-03-2020 18:31:40)

yannD · 20-03-2020 18:42:52

je ne voulais pas travailler au collège, il n'y a que depuis que je connais Yoshi que je me suis mis à travailler,
et maintenant en 1ere , il faut constamment que je retourne en arrière,

yannD · 20-03-2020 18:44:31

$\dfrac{x^2}{(x-1)^2 }$

$x^2 = x\times x$
$(x-1)^2 = (x-1)\times (x-1)$

yoshi · 20-03-2020 18:48:47

Re,

Il n'empêche que je n'avais pas remarqué :

pour $x\xrightarrow{\text{ h_4 }} 3|x| - 4 $
$x\xrightarrow{\text{ f }} |x| \xrightarrow{\text{ g }} 3x-4$
$f(x) = |x|$ et $g(x) = 3x-4$

$|x|\xrightarrow{\;\text{g}\;}3x-4$ n'est pas juste... Etourderie ? Probable, lui pourra nous le dire...

@+

yoshi · 20-03-2020 18:53:55

RE,

Non, c'est bien plus simple que ça...

Ecris-moi:
- le quotient des carrés de 2 et 3
- puis le quotient des carrés de 2 nombres quelconques non nuls a et b
- le carré du quotient de 2 et 3
- puis le carré du quotient de 2 nombres quelconques non nuls a et b

@+

yannD · 20-03-2020 19:32:42

le quotient des carrés de 2 et 3
$\dfrac{2^2}{3^2}$

le quotient des carrés de 2 nb quelconques
$\dfrac{a^2}{b^2}$

le carré du quotient de 2 nb quelconques $\left(\dfrac{a}{b}\right)^2$

Dernière modification par yannD (20-03-2020 19:56:37)

yoshi · 20-03-2020 20:05:11

Bin voilà, tu y es :
$\dfrac{a^2}{b^2}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^2$

Maintenant tu peux répondre à $h_5$...

N-B : ce n'est pas seulement vrai pour les carrés, mais aussi pour n'importe quelle puissance...
Et tu peux écrire la même chose avec les racines carrées (une racine carrée, c'est la puissance $\frac 1 2$...)

yannD · 20-03-2020 21:20:19

$x\xrightarrow{\text{f}} \left(\frac{x^2}{(x-1)^2}\right)^2 \xrightarrow{\text{g}}\sqrt{ \left( \frac{x^2}{(x-1)^2} \right) ^2}$

$f(x)= \left(\frac{x^2}{(x-1)^2}\right)$

$g(x) = \sqrt{x}$

yoshi · 20-03-2020 21:54:57

Re,

Oui, ça marche...
Mais tu n'as compris ce que j'ai voulu te montrer, encore une fois, tu fais trop compliqué : tu trouves que tu as simplifié l'écriture en rajoutant un carré supplémentaire ?

Je t'ai donné $h_5(x)=\dfrac{x^2}{(x-1)^2}$
Et je t'ai fait remarquer que en fait :
$\dfrac{x^2}{(x-1)^2}=\left(\dfrac{x}{x-1}\right)^2$ Je n'ai pas rajouté un carré, j'en ai enlevé un !

Cela veut dire que je peux simplifier l'écriture de $h_5$ :
$h_5(x)=\left(\dfrac{x}{x-1}\right)^2$

Et maintenant repars de ça...

@+

Zebulor · 21-03-2020 10:43:07

re,

yannD a écrit :

$x\xrightarrow{\text{f}} \left(\frac{x^2}{(x-1)^2}\right)^2 \xrightarrow{\text{g}}\sqrt{ \left( \frac{x^2}{(x-1)^2} \right) ^2}$
$f(x)= \left(\frac{x^2}{(x-1)^2}\right)$
$g(x) = \sqrt{x}$

Yann ayant choisi une composition de fonction réciproque sur $R^{+}$, l'idée en soi est ingénieuse et cà marche, mais en effet c'est compliqué :-)

Juste une chose :
Je vais encore faire mon empêcheur de tourner en rond mais dans ce cas on a pas : $f(x)= \left(\frac{x^2}{(x-1)^2}\right)$
mais plutôt :
$f(x)= \left(\frac{x^2}{(x-1)^2}\right)^2$

Dernière modification par Zebulor (21-03-2020 10:48:36)

yannD · 21-03-2020 11:08:48

Salut, je sais pas mais j'ai eu du mal à faire la formule en latex

yoshi · 21-03-2020 11:41:32

Salut,

On s'amuse bien ?

Le plus simple est de prendre pour fonction composée celle que je voulais voir utilisée, soit
$h_5\,:\,h_5(x)=\left(\dfrac{x}{x-1}\right)^2$

Quand j'ai écrit :

N-B : ce n'est pas seulement vrai pour les carrés, mais aussi pour n'importe quelle puissance...
Et tu peux écrire la même chose avec les racines carrées (une racine carrée, c'est la puissance 1/2...)

Je voulais simplement te rappeler ça :
$\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n$ qui va avec $a^n\times b^n =(a\times b)^n$
et
$\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac a b}$

@speedy
yannD a tendance à perdre le fil, je pense préférable de le laisser d'abord finir l'exercice, puis alors seulement de revenir sur sa proposition compliquée...

@+

Zebulor · 21-03-2020 12:16:36

@Yoshi. oui c est une bonne idée. Et avec une expression compliquée comme çà on fait vite des erreurs en Latex.

yannD · 21-03-2020 18:49:30

Bonsoir,

Pour $x\xrightarrow{\text{h}} \frac{x^2}{(x-1)^2}$

je propose :

$x$ $\xrightarrow{\text{f}}$ $ \frac{x}{(x-1)}$ $ \xrightarrow{\text{g}} $ $\frac{x}{(x-1)}$

Zebulor · 21-03-2020 18:58:49

Bonsoir !

Bien vu pour la fonction $f$

Par contre, je ne vois pas trop l'utilité de la fonction $g$. Il faut revoir quel est le but de l'exercice...

yoshi a écrit :

..
Maintenant, on va fonctionner à l'envers : je te donne la fonction composée et toi tu me donnes les deux fonctions f et g qui ont été composées et dans quel ordre...
$h\,:\,x\mapsto \dfrac{x^2}{(x-1)^2}$

Parce qu'en fait pour fixer les idées il s'agit de trouver $f$ et $g$ telles que $g \circ f=h$.

Est ce que c'est le cas ?

Dernière modification par Zebulor (21-03-2020 19:12:24)

yoshi · 21-03-2020 19:55:25

Yann,

Tu as perdu aussi de vue que l'écriture
$h_5(x)=\dfrac{x^2}{(x-1)^2}$ que je t'avais donnée l'avait été pour t'obliger à penser à la remplacer par :
$h_5(x)=\left(\dfrac{x}{x-1}\right)^2$
Tu as bien vu cette fois :
$f\,:\, f(x)=\dfrac{x}{x-1}$

Mais tu ne nous montres pas ta fonction g : quelle est-elle ?
Si tu l'écris clairement, probablement pourras-tu répondre plus facilement à la question de zebulor (et aussi parce que c'est une bonne habitude à prendre)...

yannD · 21-03-2020 20:35:44

$\frac{x^2}{(x-1)}^2 = \frac{x}{x-1}\times \frac{x}{x-1}$

f=g = $\frac{x}{(x-1)}$

yoshi · 21-03-2020 21:01:12

Non Yann, ce que fu fais là n'est pas fof c'est $f\times f$, non pas $(f\circ f)(x)$ mais $ f(x)\times g(x)$ !

oui, $x$, par f, a pour image $\frac{x}{x-1}$
Mais, yann après c'est à
$\frac{x}{x-1}$ que tu dis appliquer de nouveau f...

Donc tu penses avoir avoir calculé $f\circ f$ qui est tel que
$f[f(x)]=f\left(\frac{x}{x-1}\right)$...

Que nenni, jeune-homme, c'est $\left(\frac{x}{x-1}\right)$ qui devient antécédent...
Dans ton cas où tu dis que g=f, on a en fait :
$(f\circ f)(x)=f[f(x)]= f\left(\dfrac{x}{x-1}\right)=\dfrac{\dfrac{x}{x-1}}{\dfrac{x}{x-1}-1}$ (1)

Partout où il y avait $x$, j'ai écrit à sa place $\frac{x}{x-1}$ parce que c'est cette image tout entière qui sert de nouvel antécédent.

$\dfrac{\dfrac{x}{x-1}}{\dfrac{x}{x-1}-1}= \dfrac{\dfrac{x}{x-1}}{\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{x-1}{x-1}}=\dfrac{\dfrac{x}{x-1}}{\dfrac{x-x+1}{x-1}}=\dfrac{\dfrac{x}{x-1}}{\dfrac{1}{x-1}}=\dfrac{x}{x-1}\times \dfrac{x-1}{1}=\dfrac x 1=x$

En résumé,
avec g = f, $g\circ f$, c'est $f\circ f$
et
$x\xrightarrow{\;\text{f}\;}\left(\dfrac{x}{x-1}\right)\xrightarrow{\;\text{f}\;}x$
Retour au point départ, alors qu'il était demandé f et g
pour que $h_5(x)=(g\circ f)(x)=\left(\dfrac{x}{x-1}\right)^2$

Je répète : tu as calculé $f(x)\times f(x)=\dfrac{x}{x-1}\times \dfrac{x}{x-1}=\left(\dfrac{x}{x-1}\right)^2$.
$f(x)\times f(x)$ ce n'est pas ce qui était demandé.
Je te demande d'arriver à ce résultat avec $g\circ f)$.
Et tu sais que ton f est juste, c'est g qui est faux : non, $g\neq f$...

@+

[EDIT]
Si par hasard, tu ne comprenais toujours pas ce qui précède,
alors pense que l'antécédent de $f$ je l'ai écrit sur des papiers que j'ai enfermés dans plusieurs enveloppes cachetées :
https://www.cjoint.com/c/JCwivMLoHUW
Pour savoir ce que ça donne, j'ouvre cette enveloppe et sors mon papier...

Pour la première application de $f$, dans l'enveloppe, sur le papier est écrit $x$ et pour TA 2e application de $f$n dans l'enveloppe, sur le papier, ne serait plus inscrit $x$, mais $\dfrac{x}{x-1}$...
Et tu vois que tu retrouves bien l'écriture (1).

Dernière modification par yoshi (22-03-2020 09:36:13)

Zebulor · 22-03-2020 18:31:46

Salut Yann!

yannD a écrit :

$\frac{x^2}{(x-1)}^2 = \frac{x}{x-1}\times \frac{x}{x-1}$
f=g = $\frac{x}{(x-1)}$

Beaucoup de lecture pour toi dans ce que met Yoshi.

$f=g = \frac{x}{(x-1)}$ : Tu peux écrire $f=g$ si ce sont deux fonctions égales mais tu ne peux pas écrire $f= \frac{x}{(x-1)}$ par exemple parce que $\frac{x}{(x-1)}$ est un nombre et $f$ une fonction.

Une fonction est une fonction. Un nombre est un nombre et ce sont deux objets mathématiques de nature différentes.

Par contre $f(x)$ est un nombre...

Dernière modification par Zebulor (22-03-2020 18:33:15)

yoshi · 22-03-2020 18:51:41

Bonsoir hombre,

En entame, dans la discussion précédente, j'avais précisément commencé par là et obtenu comme réponse que oui f(x) = 3x+2 était bien une fonction.
J'avais rectifié et terminé ma réponse par une analogie, (même si on dit que : comparaison n'est pas raison) :

On va dire que si toi tu es l'antécédent, la fonction est l'appareil photo (ou le capteur photo du smartphone) et la photo prise de toi est l'image..
Confondre f(x) et f c'est confondre la photo avec l'appareil...

@+

yannD · 23-03-2020 08:59:26

Bonjour

$g(x)=x^2$

yoshi · 23-03-2020 09:18:14

Bon matin,

OUI !!!

Tu vois que tu cherchais bien trop loin...

Là avec
$f\,:\, x\mapsto f(x)=\dfrac{x}{x-1}$ et $g\,:\,x\mapsto g(x)=x^2$
on a
$(g\circ f)(x)=\left(\dfrac{x}{x-1}\right)^2=\dfrac{x^2}{(x-1)^2}$

Et maintenant, donne nous donc $(f\circ g)(x)$...

Cela fait, sauf si zebulor passe avant et qu'il a une vérification à faire, on traitera, un exemple de fonctions, en Géométrie, les transformations ponctuelles : translation, symétries, rotation, homothétie qu'on composera...

@+

Zebulor · 23-03-2020 10:37:56

Salut les Djeun'z,
ayant mon attestation pour passer par là, j'ai tout vérifié c'est bon. Allez je me confine.

Speedy

yoshi · 23-03-2020 18:02:21

Bonjour

@Yann
Je t'ai vu passer et partir...
Peut-être n'as-tu pas vu qu'avant de passer à la suite, avec
$f\,:\,f(x)=\dfrac{x}{x-1}$ et $g\,:\,g(x)=x^2$
ne souhaite que tu nous donnes la réponse à cette question :
$(f\circ g)(x)=\; ?$

@+

yannD · 23-03-2020 18:44:37

$f : f(x) = \dfrac{x}{x-1}$ et $g: g(x) = x^2$

$(fog)(x) $

$x\xrightarrow{\text{g}}x^2 \xrightarrow{\text{f}} \dfrac{x^2}{x^2-1}$

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