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stokastik

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Re : lR est dénombrable par lN

Tes histoires de propriétés naturelles et de définition locale n'ont aucun sens.

stokastik

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Re : lR est dénombrable par lN

Ah je vois que quelqu'un a pris la peine de s'occuper de ton cas : http://spoirier.lautre.net/moiseti.htm

Quel courage...

moiseti

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Re : lR est dénombrable par lN

Suite du 25 et réponse au 26 (stokastik)

On reprend…
Tout nombre réel possède, de par sa nature, la propriété naturelle : "peut être représenté sous la forme d'un développement décimal". Elle est indispensable pour la démo. Grâce à elle on peut construire la diagonale, définir une transformation de cette diagonale et, surtout, dire que le résultat de cette transformation est un nombre réel appartenant à l'intervalle I des réels sélectionné pour la démo.
Il me semble évident qui si on utilisait un raisonnement faisant abstraction de la nature des réels en jeu on aurait un problème.
Les réels dont on a besoin sont, par hypothèse, donnés dans une suite dénombrable, c'est-à-dire par une application g de N dans l'intervalle I. Il faut qu'ils soient donnés sous la forme d'un développement décimal. L'application g doit donc être définie localement (la liaison entre l'élément de N et son image dans I est fait au moyen de leurs propriétés naturelles respectives). On peut dire "naturel" au lieu de "local".

Et maintenant…
Si on fait abstraction de la nature des éléments (on fait abstraction du fait que ce sont des nombres entiers ou réels) de N et de R, cela ne modifie pas la puissance des deux ensembles. Que nous reste-t-il ? Un ensemble infini dénombrable N, un ensemble infini R. On dispose aussi de l'ensemble produit NxR dont une partie G est le graphe de l'application g. Les éléments de G sont, par définition, des couples ordonnés (a, x) où la première projection a, est un élément de N et la seconde projection x, un élément de R, et où x est l'image g(a) de a.
On suppose que g est surjective. On peut alors décrire g à l'aide des propriétés (formelles) de G :
a) pour tout a appartenant à N  il existe un et un seul x appartenant à R tel que (a, x) appartient à NxR  et b) pour tout x appartenant à R  il existe au moins un a appartenant à N  tel que (a, x) appartient à NxR.Toute partie de NxR  vérifiant ces propriétés est le graphe d'une application surjective de N dans R.
Si on réussit à démontrer qu'au moins une telle partie existe dans NxR, on aura démontré que R est dénombrable et, comme la preuve aura été faite en faisant abstraction de la nature des éléments de R, que tout ensemble infini est de puissance dénombrable.
C'est ce que je fais dans le texte B de mon site (pas de bla-bla, des formules), mais en me servant d'une autre structure, celle d'une certaine relation d'ordre (*). Le chemin est assez long et fastidieux, et on est loin de l'élégance de l'argument diagonal, mais on démontre (jusqu'à preuve du contraire) que tous les ensembles infinis ont même puissance dénombrable. Dès lors si on dit aussi que R n'est pas dénombrable, on crée une contradiction.

(*) Le Texte B a pour but de démontrer que pour tout ensemble infini E il existe une partie D de ExE qui est le graphe d'une relation d'ordre de domaine E, et dont le modèle est en fait le graphe de la relation d'ordre naturel, <, de l'ensemble des entiers naturels N.
On peut alors construire une bijection de E sur N et dire que les deux ensembles sont équipotents et que D est le graphe d'une relation de bon ordre.
Pour ne pas alourdir encore le texte la relation D est confondue avec son graphe, étant donné qu'on fait toujours abstraction de la nature des éléments de E.

Réponse au 27 (stokastik) :

Cette page est en ligne depuis Janvier 2006.

Dernière modification par moiseti (16-10-2006 16:29:39)

stokastik

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Re : lR est dénombrable par lN

"Tout nombre réel possède, de par sa nature, la propriété naturelle : "peut être représenté sous la forme d'un développement décimal"."

-> Tout nombre réel possède, par construction des nombres réels, un développement décimal.

Mahow

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Re : lR est dénombrable par lN

Bien sur si le developpement décimal est infini et que les fractions continue ne sont pas périodique, alors on aurait un transcandant (merci Galois)

Mais ... pi n'est pas transcendant,  (rappel de collège)

l'existence de ces transcandants refute la dénombrabilité de R.

Et les démonstrations en sont nombreuses de nos jours.

yoshi

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Re : lR est dénombrable par lN

Bonsoir,

L'objet de la discussion me dépassant un peu, je ne réagis que sur une affirmation du précédent message.
Donc Mahow a écrit :

Mais... pi n'est pas transcendant (rappel de collège)

Ceci appelle une remarque de ma part (à moins que je n'aie rien compris) : je voudrais bien savoir dans quel collège, on parle de transcendance ? Déjà, qu'en collège, il est interdit de parler de "nombres premiers" tout court, on peut seulement parler (en 3e) de nombres premiers entre eux via le PGCD = 1, lequel PGCD ne se calcule qu'avec les divisions ou soustractions successives, alors la "transcendance" de pi...
Nous n'y abordons pas non plus la démonstration que la racine carrée de 2 n'est pas un nombre rationnel...
En outre, nous avons deux impératifs :
- n'utiliser que des nombres "fréquentables" (sic)
- ne pas donner d'exercices exigeant de la "virtuosité technique" (re sic).
Alors, la transcendance (air connu)...
Si je me souviens bien, la non transcendance d'un nombre réel se juge à ce qu'il est solution d'une équation à coefficients entiers...
Les seules équations traitées en collège soit sont du premier degré, soit se ramènent, après factorisation, à un produit de deux binômes du premier degré, alors la transcendance...

Deuxième point : pi n'est pas transcendant voilà qui bouleverse ce que je croyais savoir ...
Alors je suis allé "à la pêche" et j'ai trouvé ça :
http://pi-colleurs.ifrance.com/mathemat … emann.html

Je ne demande qu'à comprendre, même à mon âge...
Faute de frappe ?

@+

moiseti

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Re : lR est dénombrable par lN

Réponse à Stokastik (#29)

Tout à fait. Lorsque dans un raisonnement on fait abstraction de la nature des éléments des ensembles invoqués cela ne signifie pas que l'on nie l'existence de leurs propriétés, simplement on a décidé de ne pas s'en servir. Ce type de raisonnement est possible en théorie des ensembles (le fondement logique des mathématiques) grâce, en particulier, aux notions de relation et de graphe. On a ainsi deux types de raisonnements, non équivalents, selon que l'on fait abstraction ou non de la nature des éléments.

On revient au théorème de Cantor…
Ce qui est donné dans l'hypothèse, sous forme d'une suite dénombrable, est une application g de N dans R. Autrement dit g est une partie, appelée graphe de g, du produit cartésien NxR, vérifiant la structure d'une application surjective (ou surjection),. Or tous les graphes de toutes les applications surjectives de N dans R sont construites, avec la construction de NxR, en faisant abstraction de la nature des éléments de N et de R, c'est-à-dire de leurs propriétés. Pour construire la preuve on doit bien sûr en tenir compte et donc raisonner en faisant abstraction de la nature des éléments. Bref, les propriétés des éléments de N et de R n'étant pas données dans l'hypothèse, on ne doit pas utiliser dans la preuve les représentations décimales. La démonstration n'est pas valable.
Pour accéder aux propriétés des éléments on doit modifier l'hypothèse en spécifiant qu'il existe une définition locale de g. La définition locale est en effet construite en utilisant les propriétés naturelles des éléments de N et de R (*). La démonstration de Cantor est alors valide, mais son champ d'application est restreint puisque l'ensemble des applications surjectives de N dans R ayant une définition locale est un sous-ensemble le l'ensemble des applications surjectives de N dans R.

(*) Par sa structure, le graphe donne à g un sens formel ; la défintion locale, si elle existe, lui donne un sens naturel.

Dernière modification par moiseti (29-11-2006 12:57:15)

moiseti

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Re : lR est dénombrable par lN

Réponse à Mahow (# 30)

Ce que j'ai trouvé sur les transcendants :
Sont dits algébriques les réels racines de polynômes à coefficients entiers, les autres réels sont dits transcendants. La transcendance de pi a été établie en 1882.
Après avoir démontré que R n'est pas dénombrable (c'est le théorème qui nous occupe ici) Cantor a démontré que le sous-ensemble des nombres algébriques est dénombrable, il en a donc déduit que le sous-ensemble des nombres transcendants n'est pas dénombrable. La non dénombrabilité de l'ensemble des transcendants est donc conséquence de la non dénombrabilité de R.

Mais c'est vrai qu'il ne suffirait pas de démontrer que le théorème de Cantor est faux pour démontrer qu'il n'existe pas de démonstration prouvant l'existence d'au moins un ensemble non dénombrable.

Supposons donc qu'une telle démonstration existe, ce qui revient à dire que la proposition P = "Tout ensemble infini est dénombrable" est fausse.

- Le problème est que, en raisonnant dans la théorie des ensembles on peut démontrer que tout ensemble E d'au moins deux éléments (on fait abstraction de leur nature) est dénombrable et donc que P est vraie (cf. "Texte B" de mon site).

- Résultat : P est vraie et fausse, ce qui est contradictoire. C'est la pire des situations !

stokastik

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Re : lR est dénombrable par lN

"La nature des éléments" ça me semble être n'importe quoi.

stokastik

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Re : lR est dénombrable par lN

Saurais-tu donner une vraie définition de ce qu'est "une définition locale" d'une application, et prouver formellement qu'il existe des applications qui n'admettent pas de définition locale ?

Mohwali Awamar

Invité

Re : lR est dénombrable par lN

Proposition bien établie : « Presque tous les nombres réels sont transcendant ». Autrement exprimée :   «  Si on prend au hasard un nombre réel - en considérant son développement décimal – il n a pratiquement aucune chance d être algébrique ! »

De deux choses l une : Ou que les nombres  algébriques n existent pas ou que les nombres réels sont indénombrables . Comme nous savons que les nombres algébriques existent , les nombres réels sont donc indénombrables .A mon sens il doit y avoir une faille dans ton raisonnement qu il faut déceler  . Il en est ainsi pour la Conjecture de Poincaré . Elle prend  bien en compte que les nombres réels sont indénombrables mais oublie que les nombres algébriques existent : elle en a fait abstraction ; et c est  ce qui l a rendue incohérente . C est en cela qu elle est hautement contestable .Mohwali Awamar

moiseti

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Re : lR est dénombrable par lN

Réponse au #34 (stokastik)

J'ai emprunté l' expression "nature des éléments" à Cantor lorsqu'il écrit :
« Nous appelons " puissance " ou " nombre cardinal " de M, la notion générale que nous déduisons de M à l’aide de notre faculté de penser, en faisant abstraction de la nature des différents éléments  et de leur ordre »

"nature d'un élément" = ensemble des propriétés (attributs) qui le caractérisent et permettent de le différencier : ex. le symbole 1 désigne un objet qui a les propriétés suivantes nombre, entier naturel, ordinal fini, cardinal fini, non nul, positif, impair, premier, élément neutre de la multiplication dans N… Ceci est ma définition, je ne connais pas celle de Cantor.

Réponse au #35 (stokastik)

1) "définition locale" = une formule permettant, x étant donné, de calculer f(x). Par exemple sin, ln sont les symboles de fonctions localement définies. Cette information n'est pas donnée par le graphe.

2) Pour démontrer qu'il existe au moins une application n'ayant pas de définition locale je ne peux proposer que la démonstration (par l’absurde) suivante. Elle s'appuie sur ce que j'appelle sur mon site (cf. message # 20) "texte B" démontrant que tout ensemble infini est dénombrable. ZFC désigne la théorie des ensembles.

On veut démontrer que P = "il existe au moins une application n'admettant pas de définition locale" est vrai.
On suppose que non-P = " toute application a une définition locale" est vrai.
Alors, le théorème de Cantor et le texte B se contredisent.
Conclusion : si ZFC est consistante (c.à.d. non contradictoire au niveau de ses axiomes) non-P est faux, et P vrai.

Mais, à mon avis, ce n'est pas une démonstration formelle, car l'expression "a une définition locale" n'est pas formalisable dans le langage du premier ordre de ZFC où tout objet est un ensemble. Dans ZFC l'application ne peut être identifiée qu'à un ensemble, le graphe.

Dernière modification par moiseti (07-01-2007 14:23:29)

Mohwali Awamar

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Re : lR est dénombrable par lN

Proposition bien établie : « Presque tous les nombres réels sont transcendant ». Autrement exprimée :   «  Si on prend au hasard un nombre réel - en considérant son développement décimal – il n a pratiquement aucune chance d être algébrique ! »

De deux choses l une : Ou que les nombres  algébriques n existent pas ou que les nombres réels sont indénombrables . Comme nous savons que les nombres algébriques existent , les nombres réels sont donc indénombrables .A mon sens il doit y avoir une faille dans ton raisonnement qu il faut déceler  . Il en est ainsi pour la Conjecture de Poincaré . Elle prend  bien en compte que les nombres réels sont indénombrables mais oublie que les nombres algébriques existent : elle en a fait abstraction ; et c est  ce qui l a rendue incohérente . C est en cela qu elle est hautement contestable .Mohwali Awamar

P.S.
Pour Moesi.Correction . Si ta démonstration peut entrainer l infirmation de la Conjecture de Poincaré je pense qu il y a de fortes chance qu elle soit correcte.Mohwali Awamar.

Mohwali Awamar

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Re : lR est dénombrable par lN

P.S.Pour Moiseti.
Correctif.Je pense que si ta démonstration devait entrainer l infirmation de la Conjecture de Poincaré cette propriété en serait un puissant critère de validité.Mohwali Awamar

moiseti

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Re : lR est dénombrable par lN

Réponse au # 36 (Mohwali Awamar)

Dans l'Encyclopaedia Universalis (2005), Jean-Luc VERLEY écrit :
« Les premières investigations de Cantor sont relatives à la possibilité de ranger certains ensembles de nombres en une suite simple u1, u2, ..., un... Cantor montre que c'est le cas pour toute suite multiple (linéarisation) et pour l'ensemble des nombres rationnels, tandis que Dedekind lui communique le même résultat pour les nombres algébriques, c'est-à-dire les nombres qui sont racines d'équations à coefficients entiers. En est-il de même de l'ensemble des nombres réels ? Quelques jours après s'être posé cette question, Cantor y répond par la négative et dégage immédiatement la portée de ce résultat pour l'analyse : il existe une infinité de nombres transcendants et ces derniers ne se laissent pas ranger en une suite simple. »

Il apparaît donc que : en utilisant la méthode de la "suite simple" Dedekind, et non Cantor comme je l’ai évrit dans # 33), a démontré que l'ensemble des algébriques est dénombrable, et que Cantor a démontré que l'ensemble des réels R n'est pas dénombrable.
Il n'est pas dit qu'il a aussi démontré, en utilisant la méthode de "la suite simple", ou une autre, que l'ensemble des transcendants n'était pas dénombrable. Ce n'était pas nécessaire car R étant la réunion de ces deux ensembles, ils ne pouvaient être tous deux dénombrables (dénombrable + dénombrable = dénombrable).
Je ne sais pas s’il existe une "démonstration effective" de la non-dénombrabilité des transcendants.

Réponse à # 38 et # 39 (Mohwali Awamar)

Dans le P.S. : de quelle démonstration s’agit-il ?

Mohwali awamar

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Re : lR est dénombrable par lN

Réponse au # 36 (Mohwali Awamar)

Dans l'Encyclopaedia Universalis (2005), Jean-Luc VERLEY écrit :
« Les premières investigations de Cantor sont relatives à la possibilité de ranger certains ensembles de nombres en une suite simple u1, u2, ..., un... Cantor montre que c'est le cas pour toute suite multiple (linéarisation) et pour l'ensemble des nombres rationnels, tandis que Dedekind lui communique le même résultat pour les nombres algébriques, c'est-à-dire les nombres qui sont racines d'équations à coefficients entiers. En est-il de même de l'ensemble des nombres réels ? Quelques jours après s'être posé cette question, Cantor y répond par la négative et dégage immédiatement la portée de ce résultat pour l'analyse : il existe une infinité de nombres transcendants et ces derniers ne se laissent pas ranger en une suite simple. »

Il apparaît donc que : en utilisant la méthode de la "suite simple" Dedekind, et non Cantor comme je l’ai évrit dans # 33), a démontré que l'ensemble des algébriques est dénombrable, et que Cantor a démontré que l'ensemble des réels R n'est pas dénombrable.
Il n'est pas dit qu'il a aussi démontré, en utilisant la méthode de "la suite simple", ou une autre, que l'ensemble des transcendants n'était pas dénombrable. Ce n'était pas nécessaire car R étant la réunion de ces deux ensembles, ils ne pouvaient être tous deux dénombrables (dénombrable + dénombrable = dénombrable).
Je ne sais pas s’il existe une "démonstration effective" de la non-dénombrabilité des transcendants.

Réponse à # 38 et # 39 (Mohwali Awamar)

Dans le P.S. : de quelle démonstration s’agit-il ?

Il s agit de celle dont parle  Renouve dans # 1.

stokastik

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Re : lR est dénombrable par lN

Moiseti, si tu prouves que tout ensemble est dénombrable c'est pas avec ZFC classique si ?

Et que penses-tu des objections de Sylvain Poirier :

"Commentaire général
Les différents textes manifestent beaucoup d'amateurisme... mais bon, un esprit naïf, après tout ça permet parfois de se rafraichir les idées. Je n'énumèrerai pas ici la liste exhaustive des erreurs ou imprécisions plus ou moins graves qui figurent dans les textes (ce serait trop long et n'aurait pas de sens), mais les idées principales qui en émanent, soit des erreurs fondamentales, soit des idées justes et intéressantes pouvant correspondre à ce qui est évoqué ne serait-ce que partiellement, même si cela nécessitera parfois de les reformuler complètement"

Moi ce que je contaste c'est qu'à chaque fois que tu répond c'est toujours un roman qui part dans tous les sens.

moiseti

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Re : lR est dénombrable par lN

Réponse à # 42 (Stokastik)

J'utilise ZFC "classique". Tu en doutes ? Explique-toi.

A propos de S. Poirier.
Le ton de l'extrait que tu donnes est au mieux méprisant. On pourrait penser que ce monsieur cherche surtout à se rassurer lui-même. On est sur Internet, pas dans un amphi.
Ma réponse est donc : à chacun de juger.

Si mes réponses ne correspondent pas à ton attente, il ne tient qu'à toi de reformuler les questions et de recentrer la discussion pour que ça ne parte pas dans tous les sens.

moiseti

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Re : lR est dénombrable par lN

Réponse à # 41 (Mohwali Awamar)

Je ne peux pas commenter, car sur la Conjecture de Poincaré je ne suis pas compétent. Désolé.

stokastik

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Re : lR est dénombrable par lN

Je suis d'accord que le ton est méprisant et que ce n'est pas correct.

* j'utilise ZFC "classique". Tu en doutes ? Explique-toi.

Donc est-ce que tu affirmes qu'en mathématiques "usuelles", le fait de l'existence d'ensembles non dénombrables est faux ?

Nicolas

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Re : lR est dénombrable par lN

Je suis daccord avec toi, R est denombrable et par consequent R n'est pas infini!!!!!

moiseti

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Re : lR est dénombrable par lN

Réponse à # 45 (Stokastik)

Affirmatif, le "Texte B" démontre dans ZFC qu'il n'existe aucun ensemble de puissance non dénombrable.
C'est valable pour les mathématiques actuelles puisqu'elles sont formalisées par ZFC.

moiseti

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Re : lR est dénombrable par lN

Réponse à # 46 (Nicolas)

Pas d'accord. R contient l'ensemble N (entiers naturels) qui est infini, il ne peut donc pas être fini.

Commentaire

Invité

Re : lR est dénombrable par lN

Il semble inutile d'essayer de faire comprendre quoi que ce soit à Moiseti. Sa démonstration est clairement fausse et (de plus, mais ce n'est qu'un détail) rend compte d'un amateurisme complet. Non que les mathématiques soient réservées à des "professionels" mais la moindre des choses lorsqu'on prétend démontrer un résultat si "époustouflant" (remarquons par ailleurs qu'il serait très improbable qu'un tel résultat, démontré en moins de trois pages, ai pû échapper aux nombreux mathématiciens qui ont dévellopé la théorie des ensembles) est peut-être de lire quelques livres de référence.

Bon, c'est pas méchant ce que je dis hein ? Ca m'a bien fait rigoler tout ça, mais ce serait gentil de ne pas mettre de telles choses en accès libre. Il y a des gens qui pourraient y croire, et ça franchement, c'est vraiment inquiétant. Il faut penser aux petits qui viennent chercher des informations pour un exposé et qui vont se retrouver avec 2 sur 20 parce qu'ils seront tombés sur tes "résultats" (je me permet de te tutoyer Moiseti, mais tu peux en faire de même bien entendu).

P.S.: Si tu veux quelques références pour débuter la théorie des ensembles, je peux te conseiller deux-trois bons bouquins, tu verras, c'est passionant.

moiseti

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Re : lR est dénombrable par lN

Réponse à # 49 (Commentaire)

Grâce à l'anonymat du pseudo n'importe qui peut affirmer : "sa démonstration est clairement fausse", ou son contraire. C'est sans risque puisque rien n'oblige à fournir la preuve de ce qu'on avance. On peut donc désinformer, diffamer, insinuer, manipuler en se disant qu'il en restera toujours quelque chose.
Votre message ne contient aucune preuve, c'est un "message du Corbeau". Poubelle.
Bonnes rigolades avec Mmm (# 23), c'est excellent pour la santé !