Forum de mathématiques - Bibm@th.net

oui, tu as vu juste .... difficulté qui remonte à la classe de quatrième...
tu dit : tu es fâchée avec le travail sur les inéquations...
je suis pas une fille, léo ( c'est garçon) en fait je voulais mettre mon prénom( léo) et comme il y avait déjà un léo et bien j'ai ajouté un 0
mon professeur a dit que le premier chiffre c'est 0, 0 c'est aussi un chiffre...

je comprends pas pourquoi : si a <0, donc $\alpha$ a le même signe que b

tout ce que trouve en remplaçant $a<0$ dans $\alpha=-\frac{b}{2a}$

c'est $-\frac{b}{2.(-a)}$

Bonsoir,

a est négatif

$\alpha=\frac{-b}{2a}$
en remplaçant $a$ par $-a$

$\alpha= \frac{-b}{2.(-a)}= \frac{-b}{-2a}=\frac{b}{2a}$

pour le signe de $(x_{2} + x_{1} - 2 \alpha)$

hypothèse : $x_{1} < x_{2}\leqslant\frac{-b}{2a} $

donc $x_{1}<\frac{-b}{2a}$ et $x_{2}\leqslant\frac{-b}{2a}$

nous avons obtenu $a(x_{2}+x_{1}−2\alpha)(x_{2}-x_{1})$ en calculant une différence $f(x_{2})-f(x_{1})$
et $f(x_{2}) -f(x_{1})$ s'écrit comme un produit de 3 facteurs
ça c'est compris ....

ce que je veux dire : si le premier facteur de ce produit est positif :  si a > 0
et bien $f(x_{2}) - f(x_{1})$ a même signe que $(x_{2}+x_{1}−2\alpha)(x_{2}-x_{1})$
Ai- je le droit de dire ça ?

Pour la suite de la démonstration
Quelle proposition pour :
--> a
--> $(x_{2} + x_{1} - 2\alpha) $
--> $(x_{2}- x_{1}$

j'engage une discussion:

si a est positif alors le signe de $f(x_{2} - f(x_{1})$ va être du signe de $(x_{2} + x_{1} - 2\alpha) (x_{2}-x_{1})$
$(x_{2} + x_{1} - 2\alpha)>0$ et $(x_{2}-x_{1})>0$ alors $f(x_{2}) - f(x_{1}) > 0$

$(x_{2} + x_{1} - 2\alpha)>0$ et $(x_{2}-x_{1})<0$ alors $f(x_{2}) - f(x_{1}) <  0$

$(x_{2} + x_{1} - 2\alpha)<0$ et $(x_{2}-x_{1})>0$ alors $f(x_{2}) - f(x_{1}) <  0$

$(x_{2} + x_{1} - 2\alpha)<0$ et $(x_{2}-x_{1})<0$ alors $f(x_{2}) - f(x_{1}) > 0$

en fait il s'agit d'un cas général, et comme il y a deux types de parabole :
-  soit une parabole tournée vers le haut dans le cas où  a < 0
- soit parabole tournée vers la bas si a >0

comme il y'a ces 2 possibilités, c'est la raison pour laquelle il  y a présence de a
c'est bien cela ???

partir de $f(x) = (x - \alpha)² + \beta$
on ne peut pas ..
d'après la démonstration qui permet de montrer que $f(x) =a x² + bx + c = a(x -\alpha)² +\beta$ et bien on voit bien qu'il y a le $a$  qui est en facteur
et pour calculer les images de deux valeurs distinctes de x
et bien , forcément
on va avoir $f(x_{1}) $= a suivi de la parenthèse avec le carré et j'y remplace le x par la valeur choisie.....

Toute fonction polynôme $f$ de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax² + bx  + c$ peut s'écrire sous la forme $f(x) = (x - α)² + β$

avec $α = - b/2a$

d'après la démonstration

Soit $f$ une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = a x² + bx + c $

$ f(x) = a (x² + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) $
et la mise en facteur par $a$ :  c'est ici que ça se joue pour la présence de $a$

ensuite, je dis que je reconnais une identité remarquable dans $x² + \frac{b}{a}x $ ... c'est le début du développent d'une identité remarquable, pour dire que j'ai bien compris
$x² + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})² = (x + \frac{b}{2a})² $ et j'en déduis : $f(x) = a \left[(x + \frac{b}{2a})² - (\frac{b}{2a})² +\frac{c}{a}\right]$

Finalement :

$f(x) = a \left[(x +\frac{b}{2a})² - \frac{b²}{4a²} +\frac{4ac}{4a²}\right]$

Pour pouvoir additionner  les deux fractions : j'ai multiplié la dernière fraction par $4a$

$f(x)$  = a $ \left[(x + \frac{b}{2a})² + \frac{4ac}{4a²} - \frac{b²}{4a²}\right]$ =  a $\left[(x + \frac{b}{2a})² - \frac{-4ac + b²}{4a²}\right]$

et je pose $\alpha = \frac{-b}{2a}$ et $\beta = -\frac{b² + 4ac}{4a²}$ pour dire que $f(x) = a x² + b x + c $=a $ (x - \alpha)² +\beta $

Voilà !
j'étais parti de $f(x) = x² - b x + c$ que j'ai écrit sous la forme $f(x) = (x -\alpha)² + \beta$ c'est à dire sans le a
et effectivement je ne peux pas faire de démonstration valable avec cet hypothèse, en partant de cet hypothèse

autre chose :
tu as obtenu
$f(x - 2) - f(x - 1 )$
comment fais -tu ? je cherche, je cherche.....mais je trouve pas

Bonjour,

il s'agit de la démonstration qui permet de donner un encadrement d'une fonction polynome de degré 2
et ici, l'idée est  d'utiliser [tex]f(x) = (x -\alpha)² + \beta[/tex]

Déjà, elle est pas facile cette démonstration, c'est ce que notre professeur nous a dit, il a ajouté que ce n'est pas une démonstration à connaitre par coeur mais il faut l'avoir vu .....
tout ce que j'ai compris :
- c'est prendre deux images et à $f(x_{2})$ on soustrait $f(x_{1})$

j'ai essayé ceci :

pour calculer $f(x1)$
je pars de $x_{1}$, je luis soustrais $\alpha$ et j'élève au carré
mais est ce que c'est bien cela ?

je propose :

$f(x_{2}) - f(x_{1}) = (x_{2} - \alpha)^2 + \beta - ((x_{1} - \alpha)^2 + \beta)$

$f(x_{2}) -f(x_{1}) = (x_{2} - \alpha)^2 + \beta - (x_{1}- \alpha)^2 - \beta$

je change le signe pour $\beta$ mais pas à l'intérieur de la parenthèse ( c'est bon jusque là ??)

ensuite :

$f(x_{2}) -f(x_{1}) = (x_{2} - \alpha)^2 - (x_{1} - \alpha)^2$

j'utilise l'identité remarquable A² - B² = (A + B) (A - B)

$f(x_{2}) - f(x_{1}) = \left[(x_{2} - \alpha ) + (x_{1} - \alpha)\right] \left[(x_{2} - \alpha) - (x_{1} - \alpha)\right]$

maintenant, je dois en déduire le signe de $f(x_{2})-f(x_{1})$ en étudiant le signe de chaque facteur