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Le cheminement est : supposons $f$ isomorphisme. $(1,1) \in Z/4Z \times Z/2Z$ est d'ordre 4, donc $f((1,1)) \in (Z/2Z)^3$ est d'ordre 4 (conservation de l'ordre par un isomorphisme) , contradiction car l'ordre maximal des éléments de $(Z/2Z)^3$ est 2.

Bonsoir,
Moi, je n'ai pas compris le début du 1). D'où vient ce "alors $X=...$" pour un $X \in H$ (j'ai corrigé, tu as écris : soit $X\in G$).
D'autre part, tu écris que les matrices de $SL_2(\mathbb{R})$ sont triangulaires, pour moi, ce sont des matrices de déterminant $1$ non ?

Pour le 2), pareil que Roro. Les isomorphismes conservent l'ordre des éléments. Il faut montrer que ce n'est pas possible.

La dernière équation est de la forme $\alpha z + \beta = 0$. Il est alors facile de discuter de ses solutions en fonction des valeurs de $\alpha$...

Bonjour,
au contraire, ça change tout !
Si tu considères $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$ avec $u_k \ge 0$, alors $S_n$ est croissante (on ajoute à chaque fois un terme positif).
Si $S_n$ est de plus bornée, alors elle converge.
Et si $S_n$ converge, alors $u_n$ converge vers $0$.

Bonjour Fred,
Question collatérale : Sais-tu s'il existe un moyen de montrer ce fait, a savoir, pour $f, f_1, \cdots, f_n \in C^\infty(\mathbb{R})$ (les $f_i$ étant les fonctions "usuelles"), $\forall P \in \mathbb{R}[X_1, \cdots, X_n], f \neq P(f_1, \cdots, f_n)$ où $f$ est une fonction donnée ($\displaystyle f(x)=\int_1^x \dfrac{e^t}{t}dt $ dans le cas présent) ?

Bonjour,
Attention, c'est plutôt $\displaystyle f(x)=\frac{1}{(e^x-x)}\int_{0}^{1}{\frac{e^{-ux^2(e^x-x)}}{\sqrt{u(1-u)}}}du$

Si $I\times J$ est un compact et que $h(x,t)$ est continue sur $I\times J$, alors $h(I\times J)$ est un compact et est donc bornée. Tu pourras donc borner $h(x,t)$ comme ça.

Bonjour,
Je te propose de faire le changement de variable suivant : $u = \dfrac{t}{e^x - x }$, ce qui te permet de réécrire le dénominateur sous la forme $(e^x - x)\sqrt{u(1-u)}$.

Bonsoir,
$[w,q]\times]0,M[$ n'est pas un compact de $\mathbb{R}^2$. Il est certes borné mais pas fermé.

Là, je suis un peu perdu !
Est-ce que tu penses que tu as une démonstration ?
Si oui, je veux bien que tu la rédiges tranquillement et clairement, en mettant à chaque fois le point de départ et le point d'arrivé.

Bonjour,
Je ne vois d'où vient la dernière inégalité (juste avant le *) : $\displaystyle \frac { 3 }{ 2 } \left( \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y }  \right) \le \left( \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y }  \right) +\frac { 2 }{ \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y }  }$.

Si j'écris $\displaystyle a = \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y }$, ça revient à dire $\displaystyle \frac { 3 }{ 2 } a \le a + \frac { 2 }{ a }$, soit encore $a \le 2$. Comme par ailleurs $\displaystyle \frac { y }{ x } \ge 1$ et $\displaystyle \frac { z }{ y } \ge 1$, alors $\displaystyle a = \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y } \ge 2$, et donc $a=2$ !

Je n'ai pas non plus compris le lien avec la fin.

Une petite indication : Il faut remarquer que l'inégalité ne fait intervenir que des rapports, donc, si elle est vraie pour $z \ge y \ge x > 0$, alors elle le sera pour $az, ay$ et $ax$ ou $a$ est un réel strictement positif quelconque.

On peut donc se limiter aux cas où $x=1$. Ensuite, ça revient à étudier le signe d'un polynôme du second degré.

Bon W.E.

Bonsoir,
D'un point de vue strictement mathématique, n'importe quelle partition de l'ensemble d'intégration initial marche ($D = \bigcup D_i$ et $D_i \cap D_j = \emptyset$ pour $i \neq j$). Le choix va beaucoup dépendre de la fonction à intégrer. L'idée est que dans les zones où la fonction ne présente pas beaucoup de variabilité, on utilisera peu de points, et on tirera plus de points là où la fonction présente de l'information. Il n'y pas de recette générale (ou du moins je n'en connais pas).

Pour le calcul concret des $P(X \in D_i)$, la définition est précisément $\displaystyle P(X \in D_i) =   \int_{D_i} d\pi(x)$ où $\pi$ est la loi de probabilité du problème considéré (à savoir, l'approximation de $\displaystyle \int_D f d\pi(x)$). Dans le cas d'une loi uniforme sur $D$ (calcul de $\displaystyle \dfrac{1}{\mu(D)}\int_D f(x)d\mu(x)$ où $\mu$ est la mesure de Lebesgue), le calcul que tu présentes est correct : $P(X \in D_i) = \dfrac{\mu(D_i)}{\mu(D)}$  ($\mu([a,b])=b-a$ et $\mu([a,b]\times[c,d])=(b-a)(d-c)$, etc).

Je n'ai pas vraiment d'exemple à te proposer.

La séparation entre le point 2/ et 3/ n'a pas vraiment lieu d'être.
A un moment, dans le 2/, il faut juste remarquer qu'on obtient une majoration de $\|f\|$ et que donc $f \in B$. Ensuite, tu montre que $f$ est continue, donc $f \in C_b$.

Mon post #14 répondait à ta question sur la fermeture de $C_b$.