Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
Dans le poste 19 je me suis trompé c'est pas comme ça qu'on fait pour prouver que y'<0
je devait faire ça : [tex]y'=bx-x^2y =x(b-xy)< x(b-b)<0[/tex] !

et bien je suis désolé c'est une erreur sans doute du a ma connexion qui est mauvaise  pardon

Je suppose que c'est ça !
après il demandent de prouver que [tex]y(t) \rightarrow \displaystyle\frac{b}{\gamma}[/tex] quant [tex]t\rightarrow \infty[/tex]
je peut dire que cela viens du fait que y(t) >0 et que y est décroissante ?
s'il vous plait
merci

donc pour tout [tex]t \in [t_0-\varepsilon, t_0+\varepsilon] ,y(t) < max (.,.)[/tex] ! contradiction avec la définition de[tex] t_0[/tex]
mais pourquoi la suite [tex]t_n[/tex] ?
merci pour votre aide

Je ne sais pas comment faire , un autre indice s'il vous plait !

Y a une autre question après :
soit [tex]0<\gamma< \displaystyle\frac{a}{b+1}[/tex], et soit [tex]T_{\gamma} >0[/tex] défini a la question 3
montrer que si [tex]t \geq T_{\gamma}[/tex] et [tex]y(t)> \displaystyle\frac{b}{\gamma}[/tex]
alors y'(t) <0 . j'ai fait comme ça : d'aprés 2) on a [tex]y'(t) \leq a- x'(t) \leq a-(b+1)x(t) -a \leq -a[/tex]  donc [tex]y'(t) <0[/tex] !
En déduire que [tex]y(t) \leq S_{\gamma} = max (y(T_{\gamma}),\displaystyle \frac {b}{\gamma})[/tex] pour tout [tex]t\in [T_{\gamma}, \infty[[/tex]
comme y'(t)< 0 alors y est décroissant !
mais je sais pas comment déduire que  [tex]y(t) \leq S_{\gamma} = max (y(T_{\gamma}),\displaystyle \frac {b}{\gamma})[/tex]
merci de m'aider , s'il vous plait .

ah donc je dit il existe un rang [tex]T_{\gamma}>0[/tex] pour le quel quelque soit [tex]t \geq T_{\gamma}[/tex] ,[tex]x(t) > f(t) >\gamma[/tex] !

en réalité je ne sais toujours pas comment dire que [tex]T_{\gamma}[/tex] existe !

c'est [tex]\displaystyle \frac {a}{b+1}[/tex]

J'écris l'exercice au cas ou
Soit a, b deux constantes positives et [tex]x_0 > 0[/tex] , [tex]y_0 > 0[/tex] donné .
Considérons le système différentielle : [tex]x'= -(b+1)x+x^2y+a , t \geq 0 ; y'=bx-x^2y ,t\geq 0 ; x(0)=x_0, y(0)=y_0[/tex]
dans la suite on note [tex](x,y)[/tex] une solution maximale sur [tex][0,T_m[[/tex]
1- soit[tex] \overline{t} \in [0,T_m[[/tex] tel que [tex]x(\overline{t})=0[/tex], montrer que [tex]x'(\overline{t})>0[/tex], puis que[tex] x(t)>0[/tex] pour tout [tex]t\in [0,T_m[[/tex]. montrer que de même [tex]y(t) >0[/tex] pour tout[tex] t \in [0, T_m[/tex][.
2- montrer que [tex](x+y)'(t)\leq a[/tex] pour tout [tex]t \in [0,T_m[[/tex], en déduire que [tex]T_m =\infty[/tex]
3-remarquer que[tex] x'(t) \geq -(b+1) x(t)+a[/tex] pour tout[tex] t\in [0,\infty[[/tex], calculer la dérivée [tex]t \rightarrow x(t) e^{(b+1)t}[/tex]. montrer que pour tout [tex]0<\gamma <\displaystyle\frac{a}{b+1}[/tex], il existe [tex]T_{\gamma }>0[/tex], indépendant de [tex]x_0 >0[/tex] et de [tex]y_0 >0[/tex] tel que [tex]x(t)\geq \gamma[/tex] pour tout [tex]t\geq T_{\gamma}[/tex]
je bloque sur la dernière question de la question 3
merci de m'aider

on a [tex]x'(t) \geq -(b+1) x(t)+a[/tex] et donc [tex]x'(t)+(b+1) x(t) \geq a[/tex] alors [tex]x'(t)+(b+1) x(t) \geq x'(t)+y'(t)[/tex]
d'ou [tex](b+1) x(t) \geq y'(t)[/tex]
mais je ne sais pas comment terminer?
s'il vous plait ,merci.

Merci Fred bonne fête bonne année et meilleure vœux de santé et de prospérité
je reviendrai demain pour d'autre questions lol
merci encor