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Mais, là, pour appliquer la formule j'ai besoin de calculer le cosinus de l'angle et c'est bien côté adjacent / hypoténuse

Ce que je ne comprenais plus c'est le calcul du cosinus de l'angle aigu,
c'est bien côté adjacent / hypoténuse et c'est bien  $\frac{4}{\sqrt{32}}$

dans le triangle ABC rectangle en B , l'angle C est aigu
et pour calculer le cosinus de l'angle C
je mesure d'abord la longueur CB qui vaut 4
je mesure AC qui ici , vaut $\sqrt{32}$
je calcule le rapport CB/CA  et si je tape cosinus 45° je trouve le même résultat
ce n'est pas ça ?

AB = 4
AC = $\sqrt{32}$

on me demande de calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = ||\overrightarrow{AB}||\times ||\overrightarrow{AC}|| \times \cos \alpha$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = ||\overrightarrow{AB}||\times ||\overrightarrow{AC}||  \times \cos \left(\frac{4}{\sqrt{32}}  \right)$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= 4\sqrt{32} \times cos \left(\frac{4}{\sqrt{32}}\right) = 17,20 $

Le problème est que pour le point D rien n'est dit dans l'énoncé et quand on regarde le schéma on voit que DCA est équilatéral

$\sqrt{16} = 4 $ ou $-4$
Pour les autres questions, c'est vraiment tout nouveau pour moi

Calcul de AB
Pythagore : $CB^2+BA^2=AC^2$
Puisque le triangle est isocèle et rectangle en B alors $CB = BA$
$CB^2 = BA^2+BA^2$
$\sqrt{32}^2 = 2\times BA^2$
$32 = 2\times BA^2<=>\dfrac{32}{2} =  BA^2 <=> 16 = BA^2$
D'où $BA = \sqrt{16} $

alors, position pour le point D  à l'extérieur du triangle ABC
et pour prendre une photo , j'y ai pensé mais le câble de connexion pour le smartphone s'est dénudé à une borne
j'ai appris la leçon que tu as donné en 1 heure, elle est génial !  tu t'exprimes bien ...

Bonjour Yoshi, je n'ai pas compris

Donc, à ce stade, on sait que $I \in \Delta$ mais je ne fais toujours pas le rapprochement ente les points I et O parce que l'on sait que I est sur la droite D ( on a démontré (NI) perpendiculaire (D) donc I est bien sur (D)

Salut Yoshi , mais je n'arrive toujours pas à voir pourquoi la droite (NI) est perpendiculaire à la droite (D) en I.
j'ai juste compris que (NI) est parallèle à (AB) et que (NI) est perpendiculaire à (D)