Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bon, Yoshi, je viens de lire ton message #85, il m'avait échappé.
Celui qui a écrit cet avis sur Python, c'est pas un secret, c'est mon fils. Il est vrai que comme moi, il s'est passionné pour l'informatique, mais lui il a fait des études dans ce sens. Sa spécialité est plutôt le domaine de la sécurité, mais il connait beaucoup de langages et je sais qu'il est compétent pour donner un avis personnel argumenté.     
Apparemment une discussion sur l'informatique semble te tenter, pourquoi pas, c'est un sujet que je connais un peu.

Bonjour Tibo,
Je te dirai qui est l'auteur de cette remarque si tu me dis qui tu es, tes rapports avec l'informatique, ton expérience, ce qui te permet de répondre avec l'assurance de celui qui sait vis à vis de quelqu'un qui se contente de donner un avis personnel.
Il ne s'agit en aucun cas d'un troll. Cette remarque, reçue par mail ce matin m'a donnée l'occasion de répondre à certains qui ne cherchent qu'à envenimer les échanges.
Bonne journée.

Ben, oui, je me suis planté. J'ai oublié que le plus petit des Y, donc y1, pouvait être plus petit que le plus petit des X, donc x1, ET que x2 ou x3 pouvait être plus grand que y2 ou y3.

Bonjour Joseph,
Vos dessins sont très jolis et j'ai admiré vos explications. Cependant je vous mets un garde sur un point, si votre polygone n'est pas convexe, vous risquez des problèmes.
Je ne répondrai que sur la question d'origine : sphéricité de la terre.
Je suppose que les bornes (sommets de polygones) sont dans un espace assez limité, quelques dizaines de km et que la précision des différentes valeurs est de l'ordre du mètre. Si c'est le cas, vous pouvez, sans aucun risque utiliser les coordonnées géographiques comme des coordonnées planes. Vous aurez, certes, une déformation des Y par rapport aux X. Cela peut-être gênant si vous devez produire des distances, vous pouvez aussi corriger cela avec la latitude.

Bon, un petit rajout de question : pourquoi générer 300000 triplets pour n'en étudier que 100 ?
A mon avis il suffit d'utiliser une simple formule de tirage aléatoire
x1=rand()%2016+1
x2=rand()%(2016-x1)
x3= 2016-x1-x2
Puis d'ordonner, conformément aux hypothèses..
Attention la formule est fausse (plantage) : (2016-x1) doit être plus grand que 1. C'est juste un détail de syntaxe.

OK merci.

Bonjour Yassine,
Je ne recopie pas l'énoncé qui est parfaitement clair, mais je le résume.
1- une machine tire des nombres au hasard avec une certaine règle du jeu. On peut donc affirmer que le tirage est aléatoire.
2- un homme écrit des nombres avec une certaine règle du jeu.
L'énoncé précise clairement comment déterminer le vainqueur de la partie.
Le but de l'exercice est de démontrer que l'homme, puisqu'il a la liberté de choisir ses triplets, gagne sur la machine avec un score supérieur à 75. 

Concernant la qualité des générateurs de nombres aléatoires, je pense qu'on peut considérer que tant que le tirage est fait au coup par coup, c'est à dire autant d'appels à rand() que de nombres à produire, on peut tous les considérer de bonne qualité. Par ailleurs, il est assez facile de faire un générateur de nombres aléatoires basé sur l'écriture d'un nombre binaire de 11 digits, c'est à dire de 0 à 2048.
Je suppose que le tableau "resultat" contient les 100 triplets écrits par l'homme.

J'avoue que j'ai eu du mal à comprendre, tant ton code Python que ton PDF explicatif. 

Enfin, il serait peut-être intéressant de publier la correction de l'exercice, rédigée par son auteur.
Bonne journée.

Bonjour,
Justement, on a inventé les projections pour se simplifier la vie.
Ceci dit, on peut faire tous les calculs sur la sphère comme on sait les faire en plan. Il existe la trigonométrie sphérique qui s'utilise à peu près de la même façon que la trigonométrie plane.
Cependant, il y a un problème supplémentaire, c'est que la terre n'est pas une sphère, mais un ellipsoïde de révolution.
Donnez un peu plus de détails sur ce que vous voulez faire et on pourra probablement vous aider. A titre d'exemple, le calcul de la distance entre deux points sur la terre (supérieur à 200 km) est sensiblement plus difficile que vous semblez l'imaginer.
Il me semble me souvenir qu'une question très similaire a été posée il y a quelques temps, je ne sais plus où.

Il y a une petite ambiguïté sur ton utilisation de l'expression "loi de probabilité".
Par exemple, la loi uniforme est une loi de probabilité. Le résultat d'un tirage suivant cette loi sera conforme à la théorie des probabilité. La loi des grands nombres indique que les résultats des tirages seront conformes à la probabilité, c'est à dire l'équiprobabilité en l'occurrence, chaque issue a la même probabilité donc les résultats tendront vers l'égalité des résultats. Le TCL dit que les écarts à la moyenne, ou plutôt au résultat obtenu seront conformes à la répartition normale.
Si tu tires avec un dé à 6 faces qui comporte deux faces notées '1', et pas de face notées '2', la probabilité de tirer '1' est 2/6 = 1/3. Sur un grand nombre de tirages on pourra vérifier que la proportion de résultats '1' est bien 1/3. 
Quant à la répartition dite "normale", il n'est pas possible d'avoir un résultat honnête et sans erreur qui ne respecte pas cela.
Ce qu'on appelle généralement une loi de probabilité est une description de la façon dont on réalise une expérience. La loi normale est le résultat, qui est toujours le même, quel que soit la loi de probabilité de l'expérience, pourvu que l'expérience soit réalisée de la même façon, tout au long de la dite expérience, c'est à dire, dans l'énoncé du théorème TCL, on peut lire "de même loi".
     
Autre exemple, imaginons une expérience dont la "loi de probabilité" est "inconnue" ou "effroyablement compliquée", les résultats seront conforme à la loi des grands nombres, sans grand intérêt en l'occurrence, par contre, et c'est ça qui est important, la répartition des écarts à la "moyenne" seront conformes à la répartition normale. J'ai mis "moyenne" entre guillemets parce que il ne s'agit pas forcément d'une moyenne arithmétique de nombres réels, cela peut être plus compliqué, mais généralement, on s'arrange pour trouver un résultat propre à calculer une moyenne arithmétique. 
Bien sûr, je peux donner des exemples réels.

Bonjour,
Je vais essayer d'expliquer mon raisonnement.
D'abord l'ordre des x1, x2 et x3. Il sont tels que x1 <= x2 <= x3 que la machine tire au hasard. On ne s'intéresse qu'au triplet résultat. La logique de tirage est telle que le triplet est dans cet ordre croissant et que la somme des x fasse 2016.
Concernant le choix du triplet par l'homme, la contrainte supplémentaire par rapport à la machine est que le même triplet ne doit être choisi qu'une seule fois.

La règne du jeu consiste à comparer xi à yi et xj à yj. Comme les x et les y sont en ordre croissant, il faut comparer x3 à y3 et x2 à y2.
En d'autres termes x1 et y1 sont ignorés puisqu'ils sont sans intérêt.
     
Je rappelle la méthode de calcul "humaine" que j'ai proposée.
La machine tire un nombre x1 < 2014
puis un nombre x2 < 2014 - x1
puis x3 = 2016 - x1 - x2
enfin on ordonne x1, x2, x3
l'homme défini y1=1 ; y2=1007 ; y3 = 1008
puis y1=2 ; y2=1007 ; y3=1007
puis y1=3 ; y2=1006 ; y3=1007
...
enfin y1=100 ; y2 = 958 ; y3 = 958
A chaque coup, on compare x2 :: y2 et x3 :: y3 

Pour que la machine gagne, il faut que x2 > y2 et x3 > y3
Les valeurs de y sont comprises entre 958 et 1008. Soit 50 valeurs
Les valeurs de x possibles sont comprises entre 672 ( 1/3 2016) 2016. Soit 1554 valeurs.
Cependant, comme  (x2+x3) <=2016, il faut que le maximum de x3 soit inférieur à (2016 - 672 = 1344). Le nombre de valeurs possibles est donc 1344 - 672 = 672.

On a vu que y2 = y3 ou y2 = y3+1.
Donc, à une unité près si x2 > y2 alors la machine gagne le coup.
Enfin, x2 et x3 peuvent être égaux, donc, la probabilité que la machine gagne est donc 50/672 * 2 ~ 0.148
Ce qui est effectivement inférieur = 25%.

Bonjour Freddy,
Ta question m'a échappée hier.
D'une façon très générale, si on a une liste de couples de points X,Y et une fonction f qui est définie comme régression de l'ensemble des points, la "pertinence" de l'ajustement est donné par la valeur de l'écart moyen quadratique, maintenant appelé "écart-type". Cela signifie que 0.66% des couples ont un écart à la valeur calculée inférieur à cet écart type.   
Dans le cas de l'ajustement d'une courbe de Gauss, cet écart-type calculé n'a naturellement aucun rapport avec l'écart-type de la fonction elle-même, dans l'hypothèse où il s'agirait de la loi normale. Ce sera strictement la même chose pour l'ajustement suivant une droite, un cercle, on polynôme de degré 4 ou je ne sais quoi.
Toute méthode de régression qui se respecte est basée sur la méthode des moindres carrés qui consiste à dire que la valeur la plus probable du résultat cherché est celle qui minimise la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et les valeurs obtenues par la fonction.
La méthode que j'utilise pour "fitter" une courbe de Gauss a été mise au point par Jean Jacquelin. C'est pas difficile de calculer l'écart-type de la régression elle-même, par contre, pour une représentation graphique, j'avais besoin du domaine de définition, j'ai adopté, comme on le voit souvent, 3 * écart-types.
Bonne journée.

Bonsoir Léon,
L'explication est très simple. J'ai un ensemble de points (X,Y) qui sont sensés être liés par une fonction de Gauss. En l’occurrence, il n'y a aucun rapport direct avec les probabilités, statistiques ou autre notion à propos desquelles on échange souvent.
Donc, je "fitte" cet ensemble de points. vient l'étape de la représentation graphique. Il est habituel de représenter cette fonction avec son axe de symétrie et entre les bornes -3*emq et +3*emq (emq = écart-type). D'où la nécessité de connaitre l'écart-type, ou n'importe quelle autre valeur de référence, par exemple, l'écart probable ou l'écart moyen arithmétique, pour ma représentation.
Il n'y a rien de caché, aucun paramètre 'd', aucun mélange de thématique. Seulement un petit souci de mise à l'échelle, mais en tout cas, merci, mon problème est résolu.
Pour conclure, il n'y a pas que les probabilités en math, par contre, la courbe de Gauss a une importance particulière.