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j'obtiens $2,25 \leqslant (x-2)² - 4 \leqslant -4$ pour la première ligne

et pour la deuxième ligne, (la deuxième série )  $-4 \leqslant (x - 2)² - 4 \leqslant 3$

j'ai tracé l'image de 3 , c'est bien -3
et l'image de 2 est -4
l'encadrement me parait bon ???

Bonsoir Yoshi,

Pour donner un encadrement de x². Tu as procéder ainsi

$-0,5 < x < 3$

$\left\lbrace\begin{matrix}
&-0,5\leqslant x\leqslant0  & \\
&0\leqslant x\leqslant3  &
\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$

$\left\lbrace\begin{matrix}
& 0\leqslant x² \leqslant0,25 & \\
& 0\leqslant x² \leqslant9 &
\end{matrix}\right.$

et on a : $0\leqslant x² \leqslant9$

en fait , tu as mis au message 10
Encadrement de $x$ - - > encadrement de $x - 2$ - - > encadrement de $(x - 2)²$ - - > encadrement de $(x - 2)² - 4$

sur le même modèle, j'ai préféré écrire :

$- 0,5 \leqslant x \leqslant 0$ - - > $0,25 \geqslant x² \geqslant 0$

$0 \leqslant x \leqslant 3 $  - - > $0 \leqslant x² \leqslant 9$

encadrement de $x$ - - > encadrement de $x²$

$-0,5 \leqslant x \leqslant 3$ - -- - > $0,25 \leqslant x² \leqslant 9$

et c'est pas bon ......

c'est pour appliquer la méthode du cours, je pensais qu'il fallait utiliser cette méthode, en fait on n'utilise pas un bazooka pour tuer un moustique..

je reviens à ce que tu m'as demandé de faire pour la 1)
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L'encadrement de x² est $0\leqslant x²\leqslant9$, comme je sais que x² - 4x = x² + (-4x); il suffit de trouver un encadrement de -4x et d'additionner les2
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je réécris l'encadrement de -4x

$-0,5 \leqslant x\leqslant3$

$2\geqslant-4x\geqslant-12$

Pour pouvoir les additionner, je vais les mettre l'une en dessous de l'autre (même méthode que pour les systèmes d'équations à 2 inconnues)

$0\leqslant x²\leqslant9$

$-12\leqslant-4x\leqslant2$

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$-12\leqslant x²-4x\leqslant11$

mais, j'ai toujours un problème de raisonnement pour l'encadrement de x², en effet, je le vois avec les valeurs du tableau que le minimumest0
par l'algèbre, je passe de $-0,5\leqslant x\leqslant3$ à $0,25\leqslant x²\leqslant 9$ en élevant les membres de l'inégalité au carré et c'est pour cela que je me trompe souvent en DS

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$-0,5\leqslant x\leqslant3$

Pour l'encadrement de -4x, c'est à la deuxième ligne que je change le signe de l'inégalité, c'est à dire quand je multiplie par -4

$-4.(-0,5) \geqslant -4x \geqslant -4.(3)$

$2 \geqslant -4x \geqslant-12$

que je vais écrire : $-12 \leqslant -4x \leqslant 2$

Pour pouvoir additionner les deux encadrements, j'utilise la méthode utilisé dans la résolution d'équations à 2 inconnues

$0,25\leqslant x²\leqslant9$

$-12\leqslant - 4x\leqslant 2$

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$0,25 -12\leqslant x² - 4x \leqslant 9+2$

$\begin{array}
{|c|cc|c|c|c|c|c|c|c|c|c|cc|}
x &  & -0,5& -0,3 & -0,2 & -0,1 & 0 & 0,1 & 0,2 & 0,5 & 0,9 & 1,9 &  3
\\
f(x) &  & 0,25 &  0,09& 0,04 & 0,01 & 0 & 0,1 & 0,04 & 0,25 & 0,81 & 3,61 & 9 
\\
&  &  & &  & &  & &  & &  & &  & &  & &  & &  & &
\end{array}$

en traçant la courbe, je m'aperçois que le minimum est 0 et  pas 0,25

car $f(x) = (x - α)² + β$ n'est pas montone sur un intervalle $]-\infty;+\infty[$

et dans la démonstration précédente, nous avons étudiés le signe d'une différence
pour cela, nous avons regardés que vaut $(x_2 - x_1 - 2 α )$ sachant que $x_1,x_2 \in]-\infty;α]$
et que vaut $(x_2-x_1)$ sachant que $x_1,x_2\in ]-\infty;0]$

on passe à la méthode de mon prof

on y go ??

Bonjour

J'aimerais savoir s'il est possible de revenir sur un message précédent et de remplacer : sans changer cette égalité
par sans changer cette inégalité
c'est dans le message 36, juste après l'exemple avec les marches de l'escalier de la Tour Eiffel..
Voilà, je relis souvent cet exemple, qui me sert beaucoup pour réviser le chapitre sur les inégalités
et c'est juste pour ne pas avoir à me dire, et bien là il faut que je me dise : c'est sans changer cette inégalité
- -  > j'ai bien compris que c'est inégalité à la place d'égalité, à vrai dire quand je relis le message rapidement, je fini par me tromper
D'avance merci

Bonsoir Yoshi,

-3-

l'énoncé me dit de choisir $x_{1} < x_{2} \leqslant\alpha$
c'est l'hypothèse
et il me dit, en fait je sais que
$x_{1} < \alpha$
$x_{2}\leqslant\alpha$

$x_{1}<\alpha$ alors $x_{1} - \alpha < 0$

$x_{2}\leqslant\alpha $ alors $x_{2} - \alpha\leqslant0$

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là, je reprends ton exemple en prenant des valeurs numériques à la place de $\alpha = 2$, alors j'ai $x_{1}< 2$
si je soustrais 2 à tous les nombres inférieurs à 2,à tous les nombres $x_{1}$ tel que $x_{1}< 0$,  le résultat est négatif ....
comme j'ai particulièrement apprécié cet exemple, je me permets de le réutiliser pour comprendre ce que j'écris .....
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sachant que :

$\begin{cases}x_1-\alpha < 0\\x_2-\alpha\; \leqslant\; 0\end{cases}$

j'effectue la somme de $x_{1} -\alpha < 0$ et de $x_{2} - \alpha\leqslant 0$

$x_{1} - \alpha + x_{2} -\alpha \leqslant 0 + 0$

un seul zéro suffit....

je propose une autre façon :

je pars toujours de l'hypothèse : $x_{1}<x_{2}\leqslant\alpha$
donc je sais que :
$x_{1}<\alpha$
$x_{2}\leqslant\alpha$

Qu'en conclure de $x_{1}+ x_{2}$ ?

$x_{1}<\alpha$
$x_{2}\leqslant\alpha$

$x_{1}+x_{2}\leqslant\alpha+\alpha \Leftrightarrow x_{1}+x_{2}\leqslant2\alpha$
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prenons un exemple numérique, si $\alpha = 2$
alors $x_{1}+x_{2}\leqslant4$

si je soustrais 4 à n'importe quel nombre donnée par la somme  :$x_{1}+x_{2}$ et inférieur à 4, le résultat est négatif
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finalement
$x_{2}+x_{1}-2\alpha\leqslant0$
le signe recherché pour $x_{2} +x_{1}-2\alpha$ est <0

-4-
signe $x_{2} - x_{1}$

l'énoncé me donne $x_{1}<x_{2}\leqslant\alpha$
la partie $x_{1}<x_{2}$ me permet de trouver le signe demandé
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même exemple que tout à l'heure
si $x_{2}=2$
je soustrais 2 à n'importe quel nombre inférieur à 2, le résultat est négatif
ainsi
$x_{1}<x_{2}$
$x_{1} - x_{2} < 0$

j'ai le signe de la différence entre $x_{1}$ et $x_{2}$
or, il est demandé la différence entre $x_{2}$ et $x_{1}$, je rappelle que  d'après le résultat : $a(x_{2}+x_{1}-2\alpha) (x_{2}-x_{1})$ c'est  le signe de $x_{2}-x_{1}$
Par quel nombre réel faut-il multiplier $(x_{1}-x_{2})$ pour avoir $(x_{2} - x_{1})$ ?
ça je le sais :
on multiplie par (-1), pour avoir :
$-1 *(x_{1}-x_{2}) =  - x_{1}+ x_{2} = x_{2}- x_{1}$
commutativité

ainsi si $x_{1}-x_{2} < 0$
alors $x_{2} -x_{1}>0$

-5-

je sais que :
$a < 0$
$x_{2}+x_{1}-2\alpha\leqslant0$
$x_{2}-x_{1} > 0$

Quel est le signe de $a(x_{2}+x_{1}-2\alpha)(x_{2}-x_{1})$ ?

partant de $(x_{2}-x_{1})$ qui est toujours positif, le signe de cette différence est le même que $a (x_{2}-x_{1}-2\alpha)$
si $x_{1} < x_{2}$ équivaut : $(x_{2}-x_{1})$  toujours positif et on a donc que le signe $f(x_{2}) -f(x_{1})$ dépend, est le même que celui de $a (x_{2}-x_{1}-2\alpha)$
on a donc le produit de deux facteurs ayant le même signe donne un produit de signe positif

J'en déduis le signe de $f(x_{2})-f(x_{1}) > 0$

-6-
maintenant
pour a < 0 j'en déduis la variation de $f(x) = a x² + bx + c = a(x - α)² + β$ sur l'intervalle $]-\infty;\frac{-b}{2a}]$
comme la fonction croissante conserve l'ordre : sachant que je suis parti de $x_{1}<x_{2}$ tel que $x\in ]\infty;\alpha]$et que $f(x_{1})$ < $f(x_{2})$ $f$ est bien croissante sur la partie gauche du sommet avec $a < 0$ (pas si a > 0) attention..