Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
En supposant que je comprends, tu nous dis :

Ce qui laisse supposer, sans précision supplémentaire, que c'est une maison de plain-pied. (Une belle cathédrale).
Si ce n'est pas le cas, il est indispensable de préciser le niveau de l'étage.

Bonsoir Borassus,
Tu as raison bien sûr mais il y a une petite nuance avec les (3) exercices proposés par Frank Budapest qui font référence aux coniques (paraboles, hyperboles ...). A une autre époque, les propriétés géométriques évoquées quant aux tangentes à ces courbes étaient prouvées dans de vieux grimoires tel le Lebossé & Hémery de mathélem sans aucun calcul.
Que ce soit pour les fonctions polynomiales ou la fonction exponentielle et leurs réciproques, de minuscules calculs sont nécessaires pour parvenir à des constructions.
Ce qui ne retire rien à leur intérêt ...

Bonjour,
Pour la première, factoriser $n+1$, réduire au même dénominateur et multiplier haut et bas par une "quantité conjuguée" donne de bons résultats.
La seconde : on multiplie directement haut et bas par une "quantité conjuguée".
Pour la dernière, $-1\leq\sin\,n\leq 1$ alors ...

Revenons donc à la fonction racine.
Tu calcules l'équation de la tangente à la courbe au point abscisse $a$. Facile pour toi je pense.
Tu calcules ensuite l'ordonnée du point d'intersection de cette tangente avec l'axe des ordonnées (il suffit d'écrire $x=0$).
Si tu as bien travaillé, tu dois tomber sur $\sqrt{a}/2$ c'est à dire précisément la moitié de l'ordonnée du point de départ.
D'où une construction.
Vois-tu ?

Pour la fonction inverse, tu peux regarder attentivement cette image :

... et faire les petits calculs ad hoc pour prouver ses caractéristiques.

Bonjour,
Il est fort probable que pour répondre à ta question, il faille au minimum l'équation de la courbe mais pas que ...
En tout état de cause, si tu veux des réponses adaptées, il est souhaitable que tu postes l'énoncé complet de ton problème tel qu'on te l'a donné sans y changer ne serait-ce qu'une virgule.

Bonjour,
Faute de n'avoir pas lu la page mathcurve assez attentivement, je n'avais pas compris. Maintenant j'y suis.
Je fais référence à la perspective précédente.
Soit donc le cône de révolution de sommet $a$, d'axe la perpendiculaire en $a$ au plan "équatorial" $(O,\vec{i},\vec{u})$ dont deux génératrices passent par les pôles de la sphère.
Soit $M$ un point de l'intersection cône/sphère et $m$ sa projection sur le plan équatorial.
-Le cône ayant un demi-angle au sommet de 45°, le triangle $amM$ est rectangle isocèle en $m$ et $am=mM$
-$Om^2+mM^2=OM^2=R^2\Longleftrightarrow Om^2+am^2=R^2=Oa^2$
Le triangle $Oma$ est donc rectangle en $m$ donc $M$ appartient au cylindre défini plus haut.
Réciproquement si $M$ appartient à l'intersection cylindre/sphère, $am=mM$ (prouvé plus haut) et $(aM)$ est une génératrice du cône donc $M$ appartient à ce cône.
Bref, cône, cylindre et sphère ont pour intersection la courbe de Viviani. Les calculs déjà faits poiur les équations s'appliquent.

Confirmé par une épure de descriptive relative à l'intersection cône/sphère :

Remarquer en projection horizontale le lieu de $m$ et $n$ : le cercle de diamètre $[oa]$ directrice du cylindre droit déjà évoqué. Ce n'est pas une surprise !
[Edit] Un lien pour tenter de comprendre l'épure :

https://www.geogebra.org/m/yfd3tjhy
[Edit] Ajouté sur l'épure la construction de la tangente $(tm,t'm')$ au point courant $m,m'$ de la courbe.

Bonjour,
Puisqu'il est question d'équations, je me permets de revenir sur ce que j'ai écrit plus haut (où il n'y a pas de descriptive) avec une figure :

$M$ est un point courant de l'intersection sphère/cylindre et $(mM)$ est la génératrice correspondante du cylindre.
Les triangles $OmM$ et $Oma$ rectangles en $m$ ont le côté de l'angle droit $Om$ en commun et des hypoténuses égales ($OM=Oa=R$)
Ils sont donc égaux et $mM=am$
Soit $h$ le projeté orthogonal de $m$ sur $(Oa)$ :
$mM^4=am^4=aO^2.ah^2=aO^2(am^2-hm^2)$
$mM^4=R^2(mM^2-hm^2)$
En sorte qu'une équation de la projection de la courbe sur le plan $(O,\vec{i},\vec{j})$ avec $x=\overline{hm}$ et $y=\overline{mM}$ est :
$y^4+R^2(x^2-y^2)=0$
De la même manière, on a :
$mM^2=am^2=\overline{aO}.\overline{ah}=\overline{aO}.(\overline{aO}+\overline{Oh})$
En sorte qu'une équation de la projection de la courbe sur le plan $(O,\vec{u},\vec{j})$ avec $x=\overline{Oh}$ et $y=\overline{mM}$ est :
$y^2=R(R+x)$
Un arc de parabole de foyer $F$.

Bonjour à tous,
>>Jean-Louis
Je m'étais aperçu un poil trop tard (après avoir posté) que ta question était une aimable plaisanterie.
>> Bernard-maths
Il s'agit bien sûr de Camille Lebossé et Corentin Hémery :)

Ah ! Bernard-maths voilà la question qui d'une part me tue mais d'autre part me donne satisfaction.
Revenons un peu en arrière où j'étais intervenu sur ton fil avec ceci :

A mon grand regret, la géométrie descriptive a disparu depuis belle lurette. Dans ton fil, y voyant une belle occasion, j'ai tenté d'en faire la promotion.
Ta dernière question m'enchante dans la mesure où je pense avoir atteint mon but, du moins avec toi.
Pour y répondre, il faudrait que je publie quasiment un cours de Géométrie descriptive. Tu peux comprendre que ce n'est pas vraiment possible ici.
Bien sûr, quelque part, je te renvoie dans les cordes ... Mais en l’occurrence, si je t'ai incité à te pencher sur cette discipline géométrique disparue, j'estime avoir réussi mon coup.
Merci à toi :)
P.S. Il n'y a aucune géométrie descriptive dans les relations qui permettent d'obtenir en moins d'une ligne des équations de la lemniscate et de la parabole "profil" : juste de la géométrie élémentaire de collège ...

Bonsoir Jean-Louis,

Voilà une question bien sibylline ...
Sans précision(s), il est fort difficile d'y répondre.
Amicalement.

Bonjour,
J'en profite pour signaler ce que peut faire la descriptive dans ce genre d'occasion :

- La première relation (en rouge) résulte de Pythagore appliqué deux fois.
- Le "profil" de la fenêtre de Viviani est rabattu (en bleu). Via les relations métriques dans le triangle rectangle, on "lit" sur la figure :
$rs^2=am^2=ar.ao$
La relation $rs^2=ar.ao$ caractérise un arc de parabole.