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#176 Re : Entraide (supérieur) » Arbres et coloration » 02-05-2021 11:57:37
Bonjour, merci beaucoup de votre réponse!
Maintenant que j'ai la conjecture j'ai essayé de résoudre la question 3 mais il manque quelque chose :
Initialisation : C'est vérifié pour n = 1
Hérédité : On considère que tous les arbres à n sommets ont 3×2^(n−1) colorations avec les couleurs {1,2,3} pour un n supérieur ou égal à 1 fixé. A-t-on un arbre à n+1 sommets vérifiant cette propriété?
(c'est ici que j'ai du mal, il faudrait enlever un sommet pour utiliser l'hypothèse de récurrence comme je fais ci-après, mais enlever un sommet ne suffit pas, que manque-t-il ?)
D'après l'hypothèse de récurrence, cet arbre sur n sommets a 3×2^(n-1) colorations avec les couleurs {1,2,3}, c'est donc que l'arbre initial a 3×2^(n) colorations avec les couleurs {1,2,3}.
On a montré la propriété au rang n+1.
Conclusion : Tout arbre sur n supérieur ou égal à 1 sommets possède 3×2^(n-1) colorations avec les couleurs {1,2,3}.
Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance
#177 Entraide (supérieur) » Arbres et coloration » 01-05-2021 10:48:30
- maths48
- Réponses : 13
Bonjour à tous,
Tout d'abord, voici l'énoncé de mon exercice :
On considère un arbre T à n sommets. On dénote p(T) le nombre de colorations propres de T avec les couleurs {1, 2, 3}.
1. Déterminez les valeurs p(T) pour tous les arbres à 2, 3, 4 et 5 sommets. Que pouvez-vous conjecturer sur la valeur de p(T) ?
2. Montrez qu’il existe un arbre T' à n − 1 sommets pour lequel p(T) = 2p(T').
3. Montrez par récurrence sur n la conjecture de la question 1.
Pour la question 1 je trouve pour n=2, on a p(T)=6
pour n=3, p(T)=12
pour n=4, p(T)=24
pour n=5, p(T)=48
La conjecture que je peux donc faire est celle donnée dans la question 2, c'est bien cela ?
Merci d'avance de votre aide,
Bonne journée
#178 Re : Entraide (supérieur) » TAF et dérivabilité en un point » 17-04-2021 14:06:30
Merci pour toutes ces précisions! Cet exo qui avait l'air obscure se révèle limpide maintenant!
#179 Re : Entraide (supérieur) » TAF et dérivabilité en un point » 17-04-2021 09:05:25
Bonjour, merci de la correction que vous m'avez apporté !
Tout d'abord qu'est-ce que cela veut dire un problème de symétrie numérateur/dénominateur ?
Et ensuite pour le passage à la limite on obtient lim f'(c) à gauche et à droite et c'est à ce moment là qu'on utilise les hypothèses de l'exo c-à-d le taux d'accroissement à gauche et à droite vaut par conséquent l et donc comme le taux d'accroissement de f vaut l à gauche et à droite, elle est dérivable ? C'est bien ça ?
Ensuite il faut montrer que c = x0 ?
Merci encore
#180 Re : Entraide (supérieur) » TAF et dérivabilité en un point » 16-04-2021 19:25:26
Bonsoir, merci de votre réponse!
Effectivement j'ai mélangé deux formules... Le théorème des accroissements finis appliqué à f entre x0 et x0+h donne (f(x0) - f(x0+h))/h = f'(c) avec c appartenant à l'intervalle I dont fait également partie x0.
Sinon, je dois avouer que je ne vois pas encore quel rôle va jouer la continuité de la dérivée de f en x0...
#181 Entraide (supérieur) » TAF et dérivabilité en un point » 15-04-2021 20:09:35
- maths48
- Réponses : 6
Bonsoir,
J'ai une démonstration à faire mais je bloque complètement, je n'arrive à rien.
Voici l'énoncé :
Soient f une fonction continue sur un intervalle ouvert I et x0 ∈ I. On suppose que f est dérivable sur I \ {x0} et que sa dérivée f' admet des limites à gauche et à droite en x0 qui sont égales et valent l. En utilisant le théorème des accroissements finis et en revenant à la définition de la dérivabilité, montrer que f est dérivable en x0 et que f'(x0) = l.
J'ai pensé à montrer que f est dérivable en montrant que son taux d'accroissement en x0 admet une limite finie. J'ai essayé cette formule avec x tend vers h mais comme on ne connaît pas la fonction ça ne mène à rien. J'ai écrit le TAF avec x et x0 ce qui est égal à f'(x0) mais je ne vois pas quoi en faire.
Ensuite, l'énoncé nous dit que la dérivée de f est continue en x0. Cela a-t-il un impact sur la façon dont on va montrer que f est dérivable ?
Merci d'avance que tu temps que vous m'accorderez et bonne soirée