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Bonjour,

Les valeurs des rayons étant données, ainsi que les positions du centre commun (M) et de l'un des trois points (A, B, C), il est possible de déterminer celles des deux autres par l'exploration des valeurs de la fonction F(α, β) = [U_a² + U_b²]^1/2, et la recherche du zéro non-trivial sur le domaine [0,  π]².

La comparaison systématique de la valeur actuelle de la fonction F(α, β)
à celles observées aux quatre points voisins, de coordonnées (α ± h, β) , (α, β ± h), 
permet de localiser l'extremum dans des limites de plus en plus étroites, compatibles avec la précision des calculs effectués par le logiciel (Virtual Pascal, en l'occurrence). Le pas (h), initialement égal à (0.1), est divisé par (10) lorsque la plus faible valeur calculée correspond au point central.

Les mêmes valeurs des rayons (Rj = 1, 2, 3) conduisent aux résultats suivants:

La comparaison avec ceux découlant de la division de l'image en pixels (déjà partiellement publiés)

permet les constats suivants:
a) les limites obtenues pour les coordonnées (α, β) sont effectivement très proches des valeurs approchées citées auparavant - l'écart ne dépassant pas 0.1 ° ;
b) la valeur minimale obtenue (~ 3.0E^-19) apparaît très inférieure au maximum repéré sur le domaine (~ 0.57), et peut être considérée comme nulle; en effet le rapport F_min/F_max =  5.3E^-19 ,
quoique nettement supérieur au "epsilon machine" lié à la codification des nombres à virgule flottante (ici 2^-63 = 1.1E^-19) - s'explique aisément par la dérive due à la lourdeur des calculs.

Le procédé définit une suite double convergeant vers une limite unique sur un domaine relativement large - en fait tant que le point initial ne s'approche pas trop des frontières de la cuvette dont on recherche le point le plus bas:

Les coordonnées limites apparaissent indépendantes de leurs valeurs initiales; le calcul du minimum local conduit à des valeurs très faibles (F_min/F_max >~ 2.4E^-20) et très dispersées: il s'agit en fait d'un minimum nul.

Par curiosité, j'ai regardé ce que l'on pouvait obtenir dans le cas R₁ = 1 , R₂ = 2 , R₃ = 3
par un graphe faisant apparaître les valeurs extrêmes de la norme du vecteur Grad(p) - plus précisément de son expression simplifiée.

Ce qui est en cause, c'est la présence d'un minimum nul hors des sommets du domaine; les valeurs données pour les angles sont bien sûr approchées; elles résultent d'un calcul rapide, lié à la résolution de l'image en un nombre fini de pixels.

La connaissance du maximum est indispensable à la détermination d'une échelle appropriée.

Bonjour,

Il y a bien une solution analytique au problème, mais son exploitation est assez difficile, et je ne vois pas comment faire apparaître la propriété géométrique évoquée ...

Ce sont effectivement de belles figures, dont tu pourrais améliorer l'apparence en travaillant la palette de couleurs, et en cherchant à exprimer les "intensités" (r, v, b) par des fonctions appropriées dépendant des composantes de la normale à la face considérée (je ne connais pas les instructions disponibles sur Geogebra).
Les belles teintes s'obtiennent pour Max(r, v, b) ~ 255 - éviter si possible le blanc, identique à la couleur du fond ... Des essais rapides sont possibles en utilisant MsPaint.

C'est du bon travail.

PS: Je remarque que la teinte d'une face n'est pas uniforme: il y a donc une source virtuelle d'éclairage de l'objet à distance finie; pourquoi ne pas faire intervenir un éclairage coloré, ou plusieurs sources de lumière ?
Que donnerait un fond noir, et un repère (le cube) tracé en blanc ?

Bonjour Bernard-maths,

Loin de moi l'intention de perturber tes projets d'exposés.

Tu construit des figures très claires, qui mettent bien en évidence la parenté et les élément de symétrie des objets représentés.

En ce qui concerne la troncature par un plan, il suffit d'introduire une face supplémentaire, d'orientation et de distance au centre arbitraires; le principe en a déjà été donné.
Voir le message #09 dans http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=13806

Je n'ai pas répondu jusque là, car je me suis investi dans le traitement des images et dois par ailleurs assumer des obligations aussi lourdes que diverses.

Cordialement,
W.

Bonjour,

Le procédé est-il transposable à un nombre quelconque de sommets (par ex. 5 ou 7), et en l'absence des éléments de symétrie du cube ?

En y regardant de près, je ne suis pas tout à fait convaincu par tes calculs - du moins par l'orientation que tu leur donnes.
Tu envisages la somme de quatre termes, impliquant chacun un produit scalaire particulier:
sZ (pour reprendre ta notation) = S1 + S2 + S3 + S4 , avec

S1 = |-x - y - z - a| - a = [P1 - a| - a ,
S2 = |-x + y + z - a| - a = [P2 - a| - a ,
S3 = |x - y + z - a| - a = [P3 - a| - a ,
S4 = [x + y - z - a| - a = [P4 - a| - a ,

et les normales aux faces dirigées vers l'extérieur du tétraèdre, donc opposées aux vecteurs position des sommets:

P1 = OM.N1 et N1 = (-1, -1, -1) ,
P2 = OM.N2 et N2 = (-1, +1, +1) ,
P3 = OM.N3 et N3 = (+1, -1, +1) ,
P4 = OM.N4 et N4 = (+1, +1, -1) ,

Jusques là, ça marche ... mais c'est ensuite qu'apparaissent les difficultés.

Chacun des 4 termes est en effet de la forme Sk = [pk - a| - a , ce qui donne:
# pour pk > a , donc suffisamment loin dans la direction de la normale (Nk) à la face considérée, et au delà du plan correspondant qui admet pour équation pk = a , il vient:

Sk = pk - 2a d'où Sk > -a ;

# pour pk < a , donc en-deça du plan précédent ou dans la direction opposée à la normale (si pk < 0), on a:

Sk = (a - pk) - a = - pk d'où Sk > -a .

Par conséquent l'équation sZ = 0 n'implique nullement que le point M(x, y, z) se trouve à l'intérieur du tétraèdre, ou sur l'une de ses faces.

Si l'on envisage par contre une autre somme un peu moins simple:

T = T1 + T2 + T3 + T4 , avec Tk = (pk - a) + |pk - a| ,

cette nouvelle grandeur présente un rapport étroit avec l'objet considéré; il vient en effet:
# pour pk > a : Tk = 2(pk - a) , ce qui implique: Tk > 0 ;
# pour pk ≤  a : Tk = (pk - a) + (a - pk) = 0 .
Les quatre termes n'étant jamais négatifs, leur somme (T) est par conséquent positive ou nulle,
et le cas limite T = 0 implique pour tout (k) Tk = 0 donc pk ≤  a : le point correspondant se trouve alors soit à l'intérieur du tétraèdre, soit sur la surface frontière - l'une des ses faces ou l'une de ses arêtes.

Tu as simplifié indûment l'équation sur laquelle tu travailles, et c'est par accident que je l'ai crue confirmée par mon algorithme: elle intervient en fait deux fois, notamment pour l'identification de la face du polyèdre, qui se révèle beaucoup plus délicate - je reviendrai plus tard sur le sujet.

Il te faut donc bien passer par mes calculs, plus compliqués que les tiens - l'expression de (T) ne fait que reprendre la propriété caractéristique de l'apothème, que tu as introduite en début de la discussion générale; la présence des valeurs absolues est partiellement liée au fait que la longueur d'un segment n'est jamais négative.

Bonjour,

La perspective de tes schémas est bien rendue. Je tâcherai de revenir sur les équations.

Les coordonnées des sommets s'obtiennent à un facteur près par l'algorithme sommairement résumé:

Le tétraèdre régulier se singularisant par un dual de même nature, les normales aux faces sont opposées aux vecteurs position des sommets; elles sont par conséquent données par les conditions:

Comme auparavant, les indices et les coordonnées des sommets n'ont pas été calculés.

Voici donc le tableau de résultats et l'image auxquels conduisent le programme source; les faces sont les plans tangents à la sphère centrée à l'origine et de rayon Rsph = 0.340*Rcen ; la perspective correspond aux paramètres

Latitude La = 25° , Longitude = 40° .

Figure en-dessous, pour illustration du procédé, le polyèdre à 64 faces (4³) dont les normales sont très simplement calculées à partir de 3 entiers (i, j, k) variant de 0 à 3 (Rsph = 0.800*Rcen, La = 20°, Lo = 40°); il y a dans ce cas 3 plans de symétrie, et un centre de symétrie.

Le programme source relatif à la représentation du tétraèdre figure ci-dessous:

La fonction couleur se comporte pratiquement comme un générateur pseudo-aléatoire de pixels, la plus forte composante étant systématiquement portée à 255.

Un polyèdre inscriptible dans une surface du genre précédemment décrit s'obtient en 3 étapes de duplication, accompagnées du raccordement des faces triangulaires mutuellement placées en regard.
En partant d'un tétraèdre (S₀, F₀, A₀) = (4, 4, 6), la jonction des sommets de deux triangles par des segments parallèles:
a) double le nombre de sommets du fait de la reproduction de la structure précédente: S_n = 2 * S_{n - 1} ;
b) introduit une face supplémentaire pour toute paire de triangles associés en raison du remplacement des deux faces concernées par 3 faces quadrangulaires (trapèzes, éventuellement rectangles): F_n = (2 * F_{n - 1}) + 2^{n - 1} ;
c) fait apparaître 3 arêtes supplémentaires pour chaque paire de triangles, d'où: A_n = 2 * A_{n - 1} 3 3 * 2^{n - 1} .
On voit ainsi apparaître:

(S₁, F₁, A₁, X₁) = (8, 9, 15, 2) - polyèdre ordinaire, de genre nul;
(S₂, F₂, A₂, X₂) = (16, 20, 36, 0) - polyèdre torique de genre 1;
(S₃, F₃, A₃, X₃) = (32, 44, 84, -8) - présentant la structure d'un cube.

PS: Erreur rectifiée.

Bonsoir,

C'était involontairement provocateur, mais je n'avais pas retrouvé de document plus simple dans le capharnaüm de mes fichiers.
Il suffit de détordre l'objet pour s'apercevoir que la surface fermée finale englobe les 12 arêtes rectilignes d'un cube, et présente 5 trous comme les précédentes:

Il s'agit d'une famille de surfaces algébriques de degré 28, de genre fixe (5) et vérifiant l'équation:

(x+2*a*z*y)^14+(y-2*a*z*x)^14+z^14-b*((x+2*a*z*y)^12+(y-2*a*z*x)^12+z^12)+c*b^14

avec b = 0.74 et c = 0.44 .

Inscrire lisiblement un polyèdre dans la surface la plus simple (a = 0) n'est pas facile.

Il y a une solution (S, F, A) = (32, 44, 84) conduisant à la caractéristique d'Euler

X = S + F - A = -8

conforme au genre de la surface: X = 2(1 - g) = 2(1 - 5) .

Bonjour Bernard-maths,

Je me suis effectivement laissé aller à une généralisation hâtive en ce qui concerne l'intervention systématique des vecteurs unitaires, qui ne concerne que les systèmes de points co-sphériques; il n'en reste pas moins que les faces (et donc les arêtes) de tout polyèdre convexe sont entièrement déterminées par la donnée des positions des sommets.
Cela tient au procédé de caractérisation des faces, qui revient à considérer le polyèdre comme l'enveloppe convexe du nuage de points; l'algorithme en a été donné au message #2:

Le contre-exemple que tu donnes contrevient précisément à la règle de sélection décrite:

Le triangle (BCE) n'est pas une face, parce que son plan sépare les deux autres points (A) et (D); les produits mixtes

(BC, BE, BA), (BC, BE, BD)

sont de signes contraires - idem pour le triangle (BDE).

Bonsoir Bernard-maths

La meilleure définition des polyèdres convexes paraît être celle donnée par Mathworld, dans la référence déjà citée

In the usual definition, a polyhedron can be viewed as an intersection of half-spaces

J'en avais déjà pris connaissance dans les années 2000, à une époque où je m'intéressais aux polyèdres inscriptibles dans une sphère, et n'y avais pas donné suite à l'époque, car cette définition m'était d'abord apparue très théorique (faute d'avoir creusé le sujet), et peu susceptible de déboucher sur le calcul des arêtes et des sommets.
C'est l'introduction des valeurs absolues que tu as présentée en décembre dernier qui a permis d'entrevoir tout le parti que l'on pouvait tirer de cette définition.

Par ailleurs, je m'intéressais à l'époque à l'évolution d'un nuage de (N) points en répulsion mutuelle, assujettis ou non à rester à distance fixe de l'origine; la donnée initiale était par conséquent l'ensemble des positions des sommets, de laquelle on peut déduire l'identification et le dénombrement des faces, puis des arêtes.

Tout polyèdre convexe (1) se caractérise ainsi d'une manière exhaustive par trois ensembles de données interdépendantes:
a) la matrice des (Ns) vecteurs unitaires associés aux positions des sommets;
b) le tableau des (Nf) faces dont chacune est caractérisée par
- la liste des sommets présents, dont le nombre est au moins égal à trois,
- les composantes du vecteur unitaire normal définissant l'orientation de chaque face,
- la distance qui la sépare de l'origine du repère (le centre de la sphère circonscrite, si celle-ci existe);
c) le tableau des (Na) arêtes, dont chacune est caractérisée par la donnée de deux couples d'indices:
- celui de la paire de sommets délimitant le segment,
- celui des faces adjacentes dont l'arête est à l'intersection;
de ces deux couples on déduit immédiatement la longueur de l'arête, et l'angle dièdre déterminé par les deux faces.

Ce dernier tableau constitue le cœur de l'organisation interne du polyèdre; les données qu"il contient sont invariantes dans toute rotation ou translation imposée à l'objet.

La programmation des deux premières étapes a déjà été présentée sur plusieurs exemples simples (voir les messages précédents).

La détermination des arêtes s'impose dans le cas de la représentation d'un polyèdre en transparence; c'est un autre sujet qu'il faudrait aborder, mais qui ne présente pas de difficulté majeure.

D'une manière plus systématique, la détermination des éléments du polyèdre commence par celle des sommets selon l'ordre:

sommets ---> faces ---> arêtes ;

on pourrait effectivement commencer par les faces, comme dans le cas du dodécaèdre précédemment décrit: encore une nouvelle démarche calculatoire à explorer.

La rotation de l'objet implique celle des sommets et des faces; il pourrait être pratique d'envisager une "supermatrice" à (Ns + Nf) colonnes et rassemblant tous les vecteurs unitaires associes aux sommets et aux faces: une sorte d'"oursin", rassemblant finalement les positions des sommets du polyèdre et celles de son dual.

(1): j'aurais dû préciser: circonscriptible à une sphère.