Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

De mon coté, je ne trouve pas la question "excellente" : demander si les 10 premières décimales de $\pi$ que l'on trouvent partout ne serait pas fausses !

Il suffit de taper "décimales du nombre pi" sur n'importe quel moteur de recherche pour trouver la réponse.

La question qui peut être plus pertinente, et que soulève Ernst, est celle du pourquoi ce sont ces décimales, et comment on les trouve.
Là aussi, un tout petit tour sur le web fournit une multitude de réponses qui évidemment n'utilisent pas $\pi$ pour le calculer !

Je redonne celle que j'avais indiquée : $\displaystyle \pi = 4 \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}$ qui ne sort pas d'un chapeau... il s'agit "simplement" du développement limité de la fonction $\arctan$ évalué en $1$. Pas besoin de calculer des cosinus ou des sinus, il s'agit simplement de faire la somme de nombres rationnels pour obtenir une approximation de $\pi$.

Roro.

Bonjour

Je veux bien être un peu constructif mais pas trop perdre mon temps !
Par exemple, il me semble clair que ce que tu notes $(\sim)_\mathbb N$ est exactement $\mathbb N^\star$.

Ensuite tu écris que " $(\sim)$ n’est pas régulier, c’est-à-dire qu’il n’est pas stable pour les opérations
algébriques classiques (+, ∗)", sauf que l'ensemble $\mathbb N^\star$ me semble être stable par addition et multiplication.

Tu construis donc un nouvel ensemble en ajoutant à $\mathbb N^\star$ un élément parce qu'il manque l'élément $0$. Pourquoi ne pas lui ajouter $0$ simplement ?

Bref, ça me semble bien plus tordu que le fait d'ajouter une solution à l'équation $X²+1=0$ à l'ensemble des nombres réels.

Roro.

Bonjour danielrene,

Je vais reprendre ce que tu as écris en essayant d'être critique comme tu le demandes :

D'où vient le "alors" ???

Ça dépend du cours et donc du contexte dans lequel tu fais ça... parce que le "alors" précédent est aussi dû au cours ?

Le problème ici, c'est qu'on ne sait pas ce que tu veux faire : il aurait mieux valu donner un énoncé complet au préalable de ce que tu voulais résoudre.

Ici, on ne sait pas ce qu'est ce vecteur $u$ qui apparaît.
Et la base, elle est donnée au début ? C'est une base de $\mathbb R^3$ ?

Ce qui manque ici, c'est surtout de savoir ce que tu veux faire : apparemment tu veux déterminer une base de $H_1$. Est ce que tu as obtenue une base à la fin ? Si oui, ou est-elle écrite ?

Roro.

En effet, mon "contre-exemple" n'en est pas un... et le résultat est donc peut être juste !

Roro.

Bonjour,

Je ne suis pas convaincu qu'il existe une solution à ton problème !

Es-tu certain de l'énoncé ?

Roro.

Bonjour,

Ta question me fait penser à l'approximation du calcul d'une intégrale par la méthode des rectangles.
J'écrirai donc
$$\int_0^n f(t) dt = \sum_{k=0}^{n-1} \int_k^{k+1} f(t) dt$$
et j'approcherai $\int_k^{k+1} f(t) dt$ par $f(k)$... mais évidemment il faut utiliser quelque part la limite de $f$ en $+\infty$ ce qui n'est sans doute pas si facile...

Le résultat demandé me semble faux : par exemple si $f$ est une fonction telle que $f(0)=1$ et $f(x)=0$ pour tout $x\geq 1$ alors on a, pour tout $n\in \mathbb N$ :
$$\int_0^n f = \int_0^1 f \qquad \text{et} \qquad f(0)+f(1)+...+f(n) = f(0)$$
Dans ce cas, je pense qu'on peut difficilement toujours affirmer que $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{\int_0^1 f}{f(0)} = 1$.

Suite au échanges ci-dessous (cf. message #6 de bridgslam), les fonctions mises en avant ici tendent vers $\ell=0$ alors que l'énoncé annonce que le résultat est vrai dès lors que $\ell>0$. Il ne s'agit donc pas de contre-exemples...

Roro.

Bonsoir,

En fait, tu veux démontrer que si $x$ est plus petit que n'importe quel nombre positif alors ce même $x$ est forcément négatif ou nul.

Une preuve simple est effectivement, comme tu le suggérais de procéder en prouvant la contraposée.

Si tu veux comprendre le sens direct, alors il faut que tu comprennes que dire "$\forall \varepsilon>0 \quad x\leq \varepsilon$" signifie que $x$ est plus petit que tous les nombres positifs. Donc $x$ est plus petit que $1$, mais aussi plus petit que $0.1$, mais aussi plus petit que $0.0000001$, etc.

Roro.

Bonjour,

Si la contraposée est fausse, c'est que ton assertion est aussi fausse ! C'est le principe de montrer un résultat en utilisant la contraposée : en fait c'est juste une autre formulation équivalente.

De manière générale $\big[ A \Rightarrow B \big]$ est équivalent à $\big[ (non B) \Rightarrow (non A) \big]$.

Dans ton problème, tu veux montrer que $(\forall \varepsilon >0~ ,~ x\leq \varepsilon ) ~\Rightarrow ~ (x\leq 0)$.

Comment as-tu écrit la contraposée ?

Roro.

Bonsoir,

Pour la deuxième, c'est sans doute un peu le marteau pour écraser une mouche mais

Roro.

Bonjour,

Je me demande comment tu as fait pour trouver la solution avec $\sin$ sans trouver celle avec $\cos$ ?

As-tu essayé d'utiliser les nombres complexes ? En écrivant que $\cos \theta$ est la partie réelle de $\mathrm e^{\mathrm i \theta}$ (même si la partie réelle et le produit sont pas très "compatibles") ?

Roro.

Bonjour,

La méthode de la variation de la constante est généralement bien adaptée.

Dans ton cas, il faut donc chercher une solution de la forme $C(x)\mathrm e^{-3x}$ et tu verras ce que doit vérifier $C$...

Roro.

Bonjour,

Tu ne trouves pas la bonne valeur car tu as fais une erreur de calcul : puisque $\alpha x(t)^2 - \beta y(t)^2$ est constant, tu as
$$\alpha x(0)^2 - \beta y(0)^2 = \alpha x(t_f)^2 - \beta y(t_f)^2,$$
où j'ai noté $t_f$ la fin de la bataille, c'est-à-dire lorsque $x(t_f)=0$.
Tu en déduis donc
$$y(t_f) = \sqrt{y(0)^2-\frac{\alpha}{\beta}x(0)^2},$$
qui est bien inférieur à $y(0)$.

Roro.