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Chaque espace vectoriel $E$ sur un corp $K$ admet une base $B$. Lorsque $B$ est une partie finie $\{ x_i \mid 1 \leq i \leq p \}$, cela permet d'écrire tout élément $u$ de $E$ comme une combinaison linéaire $u = \sum_{1 \leq i \leq p} \lambda_i x_i$. Comme la suite suite $(\lambda)_{1 \leq i \leq p}$ est unique, il est courant d'identifier $u$ à celle-ci et ne plus vraiment faire de différences entre $E$ et $K^p$. L'idée est que la suite et la base suffit pour retrouver le vecteur. Mais cela nécessite le choix d'une base $B$. Dans $\mathbb{R}_2[X]$, par exemple, le polynôme $X^2 + 3X + 2$ s'identifie au triplet $(2, 3, 1)$, si la base est $\{1, X, X^2 \}$ et au triplet $(1, 0, 0)$ si la base est $\{X^2 + 3X + 2, X, 1 \}$.

Pour revenir à l'exercice, on peut donc le traiter, par rapport à la base $1, X, X^2, ..., X^7$, comme si on cherchait l'intersection des espaces $F_1 = vect( (-2, 0, 1, ...) ; (3, 1, ....) )$ et $F_2 = vect((-1, 2, 7, 1, ...) ; (-12, -2, 3, ...))$.

Si cette manipulation paraît contre-intuitive au début (quelle drôle d'idée de prendre pour identique deux objets différents ?), je te conseille de bien faire la distinction. Ton exercice peut se traiter en dehors de $\mathbb{R}^n$. Il te suffit de revenir aux définitions et de déterminer l'intersection $W_1 \cap W_2$. Et avec un peu de pratiques d'algèbre linéaire, tu va très vite te rendre compte que, quels soit les objets, si l'espace vectoriel est de dimension $n$ sur $\mathbb{R}$, tu vas raisonner en utilisant des $n$-uplets.

E.

Bonjour PlumeF,

Ton raisonnement n'est pas correct. Lorsqu'on parle (de façon abusive) d'espaces vectoriels sur $\mathbb{N}$, on se réfère à l'ensemble des scalaires. Je pense que tu confond avec l'ensemble $E$ sur lequel agissent les scalaires, qui effectivement doit être un groupe (commutatif). Par définition, il faut que les scalaires appartiennent à un corps (donc à un groupe, une structure dans laquelle chaque élément à bien un symétrique pour l'addition). On peut toujours définir une loi de $\mathbb{N} \times E$ dans $E$, mais cela ne servirait pas à grand'choses...

Par ailleurs, l'équation $u + v = 0$ à bien une solution dans $\mathbb{N}^2$ : il suffit de prendre $u = v = 0$.

Eustache

Bonjour,
Reprend la définition d'un espace vectoriel : l'ensemble d'où l'on tire les scalaires doit être un corps. En toute généralité, il est possible de définir une loi externe $Y \times X \longrightarrow X$ sur tout ensemble $X$ à partir de n'importe quel ensemble $Y$. Par exemple, $(n, x) \mapsto x^n$ de $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$.

L'abondance des situations impliquant des relations linéaires en analyse et le trés grand nombre de propriétés que possèdent les espaces vectoriels justifient qu'on se concentre sur cette structure plutot que sur les autres, au moins les premieres années.

E.

Si c'est la limite est la dérivée, on a bien $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0)$, donc $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - f'(x_0) = 0$. Ici, ça veut dire $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow x_0} | g(x) - t \exp (x_0 t) | = 0$.

Il te suffit d'utiliser la définition de la limite à l'aide des quantificateurs pour montrer l'existence. Attention, montrer l'existence d'un objet mathématique ne signifie pas le construire. Il est dit explicitement "montrer que" dans ce que tu as recopié, non "exprimer $\delta$ en fonction de $\epsilon$".

Bonjour,

Qu'attends-tu de nous ? Qu'on fasse l'exercice ? Si tu souhaites qu'on t'aide, dis-nous ou tu bloques. Un exercice de maths fait par un autre n'a aucun intérêt...

Merci beaucoup Fred !

Je vais creuser cette histoire de module de torsion et de noyaux.

Bonjour,
Non, Fred à raison. On ne peut pas avoir $\textrm{Ker}\, f =\{(1,1,1)\}$, car ce n'est pas un espace vectoriel. Soit il y a une erreur de notation et on a $\textrm{Ker}\, f = \textrm{vect}(1,1,1)$, soit l'application n'est pas linéaire (ne serait-elle pas plutot affine ?).

Bonjour,
J'ai beaucoup de mal à comprendre la consigne et le dessin, mais j'ai l'impression qu'on demande d'exprimer la matrice de la rotation dans la base $(x_2, y_2, z_2)$. L'énoncé indiquant la forme de la matrice dans la base $(x_0, y_0, z_0)$ puis donnant la forme du passage de $(x_0, y_0, z_0)$ à $(x_1, y_1, z_1)$ et de $(x_1, y_1, z_1)$ à $(x_2, y_2, z_2)$, tu n'as plus qu'à en faire la composition.

E.

Bonjour à tous,

Il me semble qu'une bonne façon de procéder, c'est de considérer $G$ comme $\mathbb{Z}$ ou $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, dans la mesure ou $G$ est monogène (on peut alors poser $\mathbb{Z} = \mathbb{Z}/0\mathbb{Z}$). Si l'on sait ou qu'on remarque que les sous-groupes $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ s'obtiennent à partir des groupes $d\mathbb{Z}$, avec $d$ un diviseur de $n$, on peut en déduire l'information recherchée sur $n$. Mais peut-être que cela dépasse le niveau de Maths48.

E.

C'est exactement ça

Bonjour à tous,

Je me permets de corriger Zebulor, comme il le souhaite. La récurrence n'exige pas que la propriété soit vérifiée pour tout $n \in \mathbf{N}$. Cela dépend de ce que tu cherches à démontrer. En revanche, il y a bien un problème à ne pas prendre $n$ dans $\mathbf{N}$, mais dans $ \mathbf{N}^*$. Voilà pourquoi :

La démonstration par récurrence repose sur la propriété suivante de $\mathbf{N}$ : tout ensemble non-vide possède un plus petit élément. Soit $P$ une propriété dépendante de $n$. Si l'ensemble des entiers $n$ pour laquelle $P_n$ est fausse est non vide, on a donc un plus petit élément $p$. Mais alors $p-1$ est vrai (si $p-1 \in \mathbf{N}$). C'est là qu'intervient l'hérédité ; elle permet de montrer qu'il n'y a pas de plus petit élément si - et c'est là le point clef - $P_{p-1} \Rightarrow P_{p}$. Quand à l'initialisation (en prenant $n = 0$), elle permet de montrer que $p-1 \in \mathbf{N}$.

Pour que le raisonnement reste cohérent, il faut donc que $p-1$ appartienne à l'ensemble $\{n \in \mathbf{N} \mid P_n \Rightarrow P_{n +1} \}$. Dans notre cas, cet ensemble est $\{ n \in\mathbf{N} \mid n \geq 1\}$ (on a démontré "pour tout $n \geq 1, P_n \Rightarrow P_{n +1}$"). Mais, en particulier, on ne sait pas si $1$ est vrai, car on n'a pas démontré que $P_0$, qui est vrai (c'est l'initialisation), est un élément de cet ensemble, c'est à dire vérifie : $P_n \Rightarrow P_{n +1}$. Alors, si $k$ est le minimum des entiers pour lesquels la propriété est fausse, on ne peut pas dire qu'il y a un problème : on ne sait pas si $k-1$ est vrai.

Pour conclure, on doit donc démontrer : ou bien $P_1$ directement ; ou bien que pour tout $n \geq 0, P_n \Rightarrow P_{n +1}$.

C'est quand même bougrement dommage qu'on présente le raisonnement comme un axiome dans le secondaire, alors que sa démonstration nécessite seulement une propriété de $\mathcal{N}$ qui, pour le coup, est un axiome et permet de bien comprendre ce qu'on est en train de faire avec nos entiers et nos propriétés.

E.