Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour Grifgslam, bonjour à tous,

???
J'ai toujours quasi détesté la logique, en dehors de la différence entre $\Longrightarrow$ et $\Longleftrightarrow$.
Là, je sens que je vais détester un peu plus.  :-)

Je lis dans un des manuels de 4ème relativement récent dont je dispose (Collection Myriade de chez Bordas, programme 2016) :

« Théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. »

« Réciproque du théorème de Pythagore
Si la carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des autres côtes, alors ce triangle est rectangle. »

Sans que la contraposée soit nommée :
« Si le carré de la longueur du plus grand côté d'un triangle n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce rectangle n'est pas rectangle. »

Ce sont les formulations que j'ai toujours vues dans les notes de cours de mes élèves ou dans les polycopiés de cours.
et ce sont ces formulations que j'explique à mes élèves !

Sur Wikipédia, je lis
« Réciproque du théorème de Pythagore — Si dans un triangle, le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est le plus grand côté. »

Par contre, la contraposée est formulée différemment :
« Si un triangle ABC n’est pas rectangle en C, alors $AB^2$ n’est pas égal à $AC^2 + BC^2$. »

Dans letudiant.fr, je lis
« La réciproque du théorème de Pythagore est un énoncé qui explore l'inverse de la relation énoncée dans le théorème de Pythagore : Si dans un triangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est un triangle rectangle. »
La contraposée n'est par contre pas citée.

Mêmes formulations dans https://clg-france-clayes.ac-versailles.fr/ :
« Réciproque du théorème de Pythagore :
Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des
deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. »

« Contraposée du théorème de Pythagore:
Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs
des deux autres côtés, alors ce triangle n'est pas rectangle, »

Oui, maintenant, je m'emmêle les pinceaux ! (Et apparemment, les auteurs des passages cités. :-)
Tu peux expliquer s'il te plaît ?

Bonne et fructueuse journée à tous.

Bonsoir Michel,

Je comprends mieux maintenant l'indication de DeGeer : c'est l'exposant de l'exponentielle qui est ramené dans les deux cas à une indétermination de type $0 \times \infty$, et non la fonction $u^v$, comme je l'avais interprété initialement.  (D'où ma question.)

Donc, on peut distinguer quatre cas :

1) si $v \ln u$ tend vers $0$, $u^v$ tend vers $1$ ;

2) si $v \ln u$ tend vers $+ \infty$, $u^v$ tend vers $\infty$ ;

3) si $v \ln u$ tend vers $- \infty$, $u^v$ tend vers $0$ ;

4) si $v \ln u$ tend vers une limite finie $l$ non nulle, $u^v$ tend vers $e^l$.

Je comprends maintenant pourquoi ces deux formes sont indéterminées : a priori, on ne peut pas savoir quelle est la limite : nulle, infinie ou finie différente de 0.

Merci DeGeer ! Merci Michel !
Vous m'avez effectivement ouvert de nouveaux horizons !
(Je prévois de les faire bientôt découvrir à certains élèves de Terminale lorsqu'ils auront vu la fonction $\ln$.  :-)

Merci, Roro, de cette intéressante réponse.

Voici les trois courbes : en bleu la courbe $y = |x|$ ; en rouge la courbe des deux primitives premières ; en vert la courbe des deux primitives secondes.

Je modifie donc ma question : une fonction non définie par morceaux peut-elle être dérivable à l'ordre $k$, mais pas à l'ordre $k + 1$ ?

Bonsoir,

J'ai testé tout à l'heure pour la première fois cette approche auprès d'un élève de Première en lui demandant d'admettre pour l'instant que si une fonction est indéfiniment dérivable en une valeur $v_0$, elle peut être approximée sous la forme $f(v_0)$ plus un polynôme par puissances croissantes de  $ \Delta v$, exemples graphiques d'approximations améliorées successives de courbes à l'appui. (J'explique les développements limités dès la Première.)

Ce qui permet d'écrire le taux d'accroissement sous la forme d'une constante dépendant de $v_0$ plus un polynôme en $\Delta v$, et donc de donner un autre sens au nombre dérivé.

Cela semble bien passer, et l'élève a facilement compris que les puissances croissantes de $\Delta v$ sont très rapidement négligeables lorsque l'accroissement est très petit.

Demain — oui, j'ai cours aussi le dimanche — je testerai mon approche auprès de deux élèves de Terminale.

Bonne soirée.
Bien cordialement.

Bonjour Michel,

Merci de ton intervention, toujours enrichissante.

Polynôme dans le cas d'une fonction puissance. Série dans les autres cas. (Ou polynôme si on limite la série à un certain rang.)

Il faut bien sûr préciser « à certaines restrictions concernant la valeur $v_0$ près ».

PS : La courbe correspondante est assez mignonne (avec un "trou" en $(0 , 0) )$ :

Pour être plus précis, et plus rigoureux, « au voisinage d'une valeur $v_0$ de la variable » signifie « et donc pour $\Delta v$ suffisamment petit ».

Rebonsoir Cailloux,

Combien tu confirmes mes froncements de sourcils immédiats en lisant rapidement les réponses : je percevais que quelque chose dans le raisonnement cloche sur le fond.

J'ai effectivement tiqué sur le passage que tu mentionnes.
Rétrospectivement, je me rends compte que la conclusion est du même ordre de celle de Sganarelle dans le Médecin malgré lui lorsqu'il enfume Géronte par son discours pseudo-savant (acte II, scène 4) : « Voilà justement ce qui fait que votre fille est muette. ».

Pour répondre à ta question, contrairement aux deuxième et troisième questions, je ne pense pas avoir orienté la réponse.
Voici ma question :
« On considère un triangle ABC quelconque et un point M distinct de ces trois sommets.
On construit les projetés orthogonaux H et K de A respectivement sur la droite (MB) et sur la droite (MC).
Où faut-il placer le point M pour que la distance HK soit maximale ?

Important : Ce problème est posé à une classe de Première option maths. Selon le prof, il doit être résolu en utilisant le produit scalaire. »

Avec de tels outils, l'exercice consistera en fait à bien comprendre la solution proposée, et à savoir la redémontrer par soi-même.
Cela ouvre des voies pédagogiques passionnantes...

J'ai, en complément, posé la question suivante :
« Comment, de plus, démontrer que le maximum est atteint lorsque M est au centre du cercle exinscrit dans l'angle  ? »

Voici sa réponse :