Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour !

Déjà c'est louche, le papier a déjà quelques mois, et personne a crié partout que la conjecture de Syracuse a été résolue.

Ensuite pour les preuves exposées, je suis un peu perplexe. Rien que les lemmes 1 et 2 me semblent un peu louche : appeler lemme le fait d'utiliser une formule de trigo et d'intégrer (ce qu'on peut faire en Terminale), c'est un peu beaucoup je trouve.

Enfin, le fait que le document soit un peu douloureux à lire me fait douter sur la véracité des arguments.

J'ai trouvé un autre document écrit par ce monsieur (plutôt étonnant) : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01586017/document

Bonjour !

Ta méthode est juste, mais je n'ai pas vérifié tes calculs, je te fais confiance. Mais une astuce qu'il faut toujours avec à l'esprit quand on travaille avec des normes, c'est que si j'ai un vecteur $x$ de norme quelconque, alors en divisant $x$ par sa norme, j'obtiens un vecteur de norme 1. Tu devrais pouvoir réussir à finir !

valoukanga

Bonjour !

De deux choses l'une. D'une part, ton exercice est incompréhensible. D'autre part, je doute fort que ce forum soit une machine à corriger les exercices. Il sert plutôt à t'aider à répondre à tes questions, où tu auras essayé de chercher. Si c'est le cas, merci de nous donner tes essais.

Bonsoir !

Ça m'a l'air juste !

Alors, c'est pas exactement ça. Le problème, c'est qu'il faut combiner toutes les conditions ensemble : je t'éclaire un peu plus.

On veut $Q(a_1) = b_1$ et $Q(a_2) = b_2$ (je ne m'intéresse qu'aux deux premiers pour le moment, pour que tu comprennes l'idée). Moi, j'ai : $P_1(a_1) = 1$, $P_1(a_2) = 0$, $P_2(a_1) = 0$ et $P_2(a_2) = 1$. Je vois alors que le polynôme $Q = b_1P_1 + b_2P_2$ satisfait les deux premières égalités.

En suivant ce raisonnement, tu dois pouvoir trouver un polynôme $Q$ qui convient.

Excuse-moi, j'ai dit une bêtise plus haut : le polynôme $b_1P_1 + P_2 + P_3 + P_4$ fonctionne pour $b_1$.

Et même mieux en fait, pour n'importe quel $(\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb R^3$, $b_1P_1 + \alpha P_2 + \beta P_3 + \gamma P_4$ fonctionne (puisque lorsqu'on évalue en $a_1$, les $P_2$, $P_3$ et $P_4$ sautent). Essaie-donc de voir ce que ça donne en utilisant les conditions $Q(a_2) = b_2$, $Q(a_3) = b_3$ et $Q(a_4) = b_4$.

Encore désolé pour la petite erreur !

Je crois pas trop que tu aies compris ce que j'ai essayé de te dire. Je vais de donner un indice :

On a $P_1(a_1) = 1$, donc $b_1 P_1(a_1) = b_1$. Ensuite, comme $P_1(a_2) = P_1(a_3) = P_1(a_4) = 0$, le polynôme $Q = P_1+P_2+P_3+P_4$ vérifie $Q(a_1) = b_1$, mais ce n'est pas le seul. Avec les conditions sur $b_2$, $b_3$ et $b_4$ tu devrais un autre polynôme $Q$ qui fonctionne pour $b_1$, $b_2$, $b_3$ et $b_4$.

Bonjour !

On montre dans la démonstration d'abord qu'il y a $\varphi(m)$ entiers entre $1$ et $m-1$ qui sont premiers avec $m$ (par définition). Ces entiers sont les $lm+r$ avec $r$ premier avec $m$, et ils sont tous distincts modulo $n$. Il y'en a donc $n$ modulo $n$, et $\varphi(n)$ qui sont premiers avec $n$. Ainsi, pour chaque $\varphi(m)$, tu as $\varphi(n)$ entiers, d'où le résultat.

Est-ce plus clair ?

C'est exact ! Si tu écris ça avec le symbole de Kron,ecker, ça donne ?

Bonjour !

Qu'est-ce que tu ne comprends pas ? Si tu veux de l'aide, dis-nous ce que tu as essayé ou fait.

Bonsoir !

Pour les critères de diagonalisibilité d'une matrice, tu en as pas mal, je te liste les plus utiles : 

Soit $n \in \mathbb N^*$. Soit $A \in \mathcal M_n(\mathbb K)$, avec $\mathbb K = \mathbb R$ ou $\mathbb C$.

1) $A$ est diagonalisable $\mathcal M_n(\mathbb K)$ si et seulement si $A$ est semblable à une matrice diagonale, i.e. : $$\exists P \in \textrm{GL}_n(\mathbb K), \exists D \in \mathcal M_n(\mathbb K) \text{  diagonale}, A = PDP^{-1}.$$

2) $A$ est diagonalisable si et seulement si $\sum\limits_{\lambda \in \textrm{Sp}_{\mathbb K} A} \dim_{\mathbb K}(E_\lambda(A)) = n$ (avec $E_\lambda(A)$ le sous-espace propre associé à la valeur propre $\lambda$).

3) $A$ est diagonalisable dans $\mathcal M_n(\mathbb K)$ si et seulement s'il existe $P \in \mathbb K[X]$ simplement scindé non nul tel que $P(A) = 0$.

4) $A$ est diagonalisable dans $\mathcal M_n(\mathbb K)$ si et seulement si $P(A) = 0$, avec $P = \prod\limits_{\lambda \in \textrm{Sp}_{\mathbb K} A} (X-\lambda)$.

N'hésite pas si tu as des questions !

Bonjour !

Ta preuve est juste. Cependant, je pense que la récurrence pour montrer que $k(k+1)$ est pair est inutile. Tu peux plutôt dire que soit $k$ soit $k+1$ est pair, donc le produit est nécessairement un nombre pair.