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#151 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » diagonales_d_un_polygone » 27-01-2022 06:34:16
Bonjour,
Deux diagonales se croisant à l'intérieur d'un polygone convexe à (N) sommets, dépourvu de tout élément de symétrie, sont caractérisées par les paires d'entiers (i, j) et (k, l) vérifiant les conditions:
0 < i < k< j < l ≤ N .
D'un point de vue algorithmique, le dénombrement des (s) points d'intersection (supposés non confondus) résulte de l'imbrication de 4 boucles:
0-->S
For(I, 1, N-3, 1)
For(J, I+2, N-1, 1)
For(K, I+1, J-1, 1)
For(L, J+1, N, 1)
S+1-->S
End:End:End:End
La durée d'exécution du programme augmente rapidement avec le nombre (N) de sommets; elle est probablement proportionnelle à N4.
Les résultats obtenus jusqu'à 20 sont donnés par le polynôme: s = N(N-1)(N-2)(N-3)/24 .
Dans le cas du décagone étudié par Bernard-maths, on retrouve bien le nombre de points d'intersections, égal à 210 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 0 0 1 5 15 35 70 126 210 330 495 715 1001 1365 1820 2380 3060 3876 4845
#152 Re : Café mathématique » Rappelez-vous, les rosaces ... » 19-01-2022 12:27:56
Bonjour,
En y réfléchissant ce matin, je me suis dit qu'il y a un os: le quadrilatère (BjDjCjEj) n'est pas un carré, mais (au mieux) un losange ou sinon un cerf-volant.
Je ne peux poursuivre pour l'instant.
#153 Re : Café mathématique » Rappelez-vous, les rosaces ... » 18-01-2022 20:17:57
Bonsoir Bernard-maths,
Je rentre très rapidement les données relatives à une rosace d'ordre (N):
Rmax = rayon du cercle délimitant la figure;
les deux arcs circulaires constituant un fuseau admettent pour centres deux points (Mj, Nj) situés sur la médiatrice du segment (OAj); Rcen désigne leur rayon;
OAj = OBj = Rmax
vecteurs position:
OAj = Rmax(Cos(tj), Sin(tj)) avec tj = j.2Pi/N
OBj = Rmax( Cos(tj + dt)), Sin(tj + dt)) avec dt = Pi/N
Rcen = OMj = ONj = AjMj = AjNj
OIj = Rmax/2 = OMj*Sin(Pi/Nros) d'où: Rcen = Rmax/2Sin(Pi/Nros)
vecteurs position:
OMj = Rcen(Cos(tj - (Pi/2 - Pi/N))), Sin(tj - (Pi/2 - Pi/N)))
= Rcen(Sin(tj + Pi/N), -Cos(Tj + Pi/N))
ONj = Rcen(Cos(tj + (Pi/2 - Pi/N))), Sin(tj + (Pi/2 - Pi/N)))
= Rcen(-Sin(tj - Pi/N), Cos(tj - Pi/N))
arête du carré: a = BjDj = BjEj = CjDj = CjEj = BiMj - MjDj = BjMj - MjAj = Dbm - Rcen ;
la distance Dbm = BjMj est calculée à partir des coordonnées cartésiennes; le résultat est indépendant du rang (j) ; (*)
BjCj = a√2
OCj = OBj - BjCj = Rmax - a√2 (*)
Le tracé du second dessin laisse à désirer; il illustre cependant les relations que l'on doit utiliser.
Cinq listes de (N) vecteurs position interviennent: OAj, OBj, OMj, ONj, OCj ;
il faut aussi connaître la distance constante ODj = OEj .
Calculs à vérifier.
Cordialement, W.
(*) PS: Je m'aperçois que l'on doit avoir par construction géométrique: OCj = CjDj = a ,
ce qui entraîne: Rmax = a + a√2 et a = Rmax/(√2 + 1) = Rmax(√2 - 1)
et par ailleurs: Dbm = Rcen + a = Rmax(1/2Sin(Pi/Nros) + √2 - 1) .
#154 Re : Café mathématique » Rappelez-vous, les rosaces ... » 18-01-2022 16:57:28
... Je cherchais à faire "tourner" la rosace, mais les faisceaux se recouvrent un peu.
Alors j'ai pris une rosace à 8 branches, et je n'ai pas fini ...
Alors autant prendre directement une rosace d'ordre (n) ... Bon courage !
#155 Re : Café mathématique » Rappelez-vous, les rosaces ... » 18-01-2022 11:41:10
... J'ai cherché un moment à prolonger cette figure dans l'espace, mais il y a plusieurs façons ! Laquelle choisir, et comment placer des cubes ??? ...
Aux sommets
a) d'un tétraèdre,
b) d'un octaèdre ou d'un cube (c'est banal),
c) d'un icosaèdre (... et là, un peu plus compliqué).
L'examen des polyèdres tronqués pourrait constituer un bon point de départ.
#156 Re : Café mathématique » Rappelez-vous, les rosaces ... » 18-01-2022 07:19:09
Bonjour,
Je me suis demandé quelle devait être la plus courte liste des distances à exprimer dans un programme reconstituant la figure étudiée. La présence d'un axe d'ordre (6) appelle une notation appropriée.
1) le rayon extérieur de la rosace: OA0 = OB0 = Rmax
2) l'arête et la diagonale de chacun des carrés: A0B1 = B0A2 = Rmax*Rac(2)
B0D0 = B0E0 = C0D0 = C0E0 = B0A2 - A2E0 = Rmax*(Rac(2) - 1)
B0C0 = B0D0*Rac(2) = Rmax*(2 - Rac(2))
d'où l'on peut déduire la distance minimale séparant l'un des sommets du centre de la rosace:
OC0 = OB0 - B0C0 = Rmax*(Rac(2) - 1) = B0D0
3) la distance intermédiaire séparant deux des sommets d'un carré du même point (O):
H0B0 = H0C0 = H0D0= H0E0 = (1/2)*B0C0 = Rmax * (1 - Rac(1/2))
OH0 = OC0 + C0H0 = Rmax*(Rac(2) - Rac(1/2))
OE0² = OH0² + H0E0² = Rmax²*(5/2 - 2 + 3/2 - Rac(2)) = Rmax²*(2 - Rac(2))
d'où: OE0 = Rmax*Rac(2 - Rac(2)) .
La figure s'obtient alors en trois étapes:
#157 Re : Café mathématique » Octaèdre ... s ? » 04-01-2022 17:34:55
Bonjour,
La somme s = Abs(x) + Abs(y) + Abs(z) caractérise les faces d'un octaèdre passant par les sommets de coordonnées:
(± s, 0, 0) , (0, ± s, 0) et (0, 0,± s) ;
on comprend donc mieux ce qui se passe lorsque l'on trace les graphes des variations des fonctions
F1(s) = s - 6 ; F2(s) = Abs(s- 6) - 4 ; F3(s) = Abs(Abs(s - 6) - 4) - 2 .
PS: La mention du terme (y') au coin inférieur gauche m'a échappé ...
#158 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Enigme FSJM » 01-01-2022 23:54:47
Bonjour,
Il suffit d'énumérer tous les écarts D = Abs(R - Round(R)) pour (r) variant entre 100 et 153, et de repérer le plus petit d'entre eux.
On trouve:
#159 Re : Café mathématique » Octaèdre ... s ? » 01-01-2022 15:16:41
L'insertion mutuelle des frontières de changement de signe est confirmée par l'aspect du diagramme correspondant au produit des 3 termes:
P(x, y, z) = Eq_1 * Eq_2 * Eq_3
dans le plan d'équation z = 0 :
#160 Re : Café mathématique » Octaèdre ... s ? » 01-01-2022 12:04:46
Bonjour Bernard-maths,
J'ai regardé ce que donnait la recherche du signe de chacun des 3 facteurs du produit P = (Eq_1*Eq_2*Eq_3):
Eq_1 = ((abs(x)) + (abs(y) + abs(z)) - 6) ,
Eq_2 = (abs((abs(x)) + (abs(y) + abs(z)) - 6) - 4) ,
Eq_3 = (abs(abs((abs(x)) + (abs(y) + abs(z)) - 6) - 4) - 2) = 0 ;
dans le plan (xOy) de cote nulle, et à échelle fixe:
On obtient apparemment une suite d'octaèdres concentriques et coaxiaux.
Résultat probablement analogue pour le produit P (x, y, z), compte tenu du décalage apparent des diverses limites.
Et malgré les circonstances, bonne année et bon courage à toi et tous les autres !
#161 Re : Café mathématique » Rappelez-vous, les rosaces ... » 23-12-2021 07:23:55
Bonjour,
Quelles sont donc ces calculettes capables de livrer les résultats numériques avec 30 chiffres ?
Les calculettes donnent 1,0294372515228594143797353094836 + 1,0870328844729545963429477420414 + 0,25817376809245072792629961559712 = 0,7669487496897932384626433832795 ???
Je ne suis pas curieux, mais j'aime bien savoir ...
#162 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Courbes et surfaces de niveaux ... et troncatures. » 11-12-2021 17:22:25
L'égalité des exposants est surtout importante pour les termes en x, y et z. Pour r "rayon", aussi, et pour les écarts aussi, par principe d'homogénéité, mais pas indispensable ...
Exact, je me suis trompé car j'avais en tête un autre type d'équations.
On peut trouver des surfaces algébriques à (F- 1) trous qui entourent plus ou moins étroitement les sommets et les arêtes d'un polyèdre comportant (F) faces.
Par exemple le cube, d'équation:
x^30+y^30+z^30-b*(x^28+y^28+z^28)+c*b^14 = 0 ;
# l'octaèdre, d'équation:
(x+y+z)^30+(x-y-z)^30+(y-z-x)^30+(z-x-y)^30-b*((x+y+z)^28+(x-y-z)^28+(y-z-x)^28+(z-x-y)^28)+(0.05*c)*b^14 = 0 (avec b = 0.56 et c = 0.42);
# le dodécaèdre rhombique:
(x+y)^30+(y+z)^30+(z+x)^30+(x-y)^30+(y-z)^30+(z-x)^30-b*((x+y)^28+(y+z)^28+(z+x)^28+(x-y)^28+(y-z)^28+(z-x)^28)+0.01*c*b^14 = 0 ;
# le prisme droit à base hexagonale:
(x+y+z)^30+(x-y-a*z)^30+(y-z-a*x)^30+(z-x-a*y)^30-b*((x+y+z)^28+(x-y-a*z)^28+(y-z-a*x)^28+(z-x-a*y)^28)+(0.100*c)*b^15 = 0 (avec a = 0 , b = 0.28 et c = 0.37).
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#163 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Courbes et surfaces de niveaux ... et troncatures. » 11-12-2021 10:04:09
Bonjour,
Pour faciliter le paramétrage, tu devrais faire en sorte que les 3 termes présentent le même degré:
abs[ abs(x)2n + abs(y)2n - rn] = e2n
#164 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Courbes et surfaces de niveaux ... et troncatures. » 10-12-2021 08:12:05
Bonjour Bernard-maths,
Pas mal, le résultat !
Je suppose que tu es parti de la liste des normales aux faces, qui passent par les milieux des arêtes du dodécaèdre ? Cela a dû être assez laborieux ...
#165 Re : Café mathématique » -2i*ln((a+ai)/(a-ai))=pi avec a=114244/149375 » 09-12-2021 07:23:29
Découverte fortuite ... Tu es vraiment incorrigible !
#166 Re : Café mathématique » -2i*ln((a+ai)/(a-ai))=pi avec a=114244/149375 » 08-12-2021 09:31:21
Bonjour,
Roro a définitivement réglé la question.
On peut cependant s'interroger sur l'accumulation de conventions tordues
a=114244/149375 ... // ... Je pose atan(1/5)=1/2i ln((1+i/5)/(1-i/5)) et atan(1/239)=1/2i ln(1+i/239)/(1-i/239))
dont il faudrait vérifier la compatibilié - perte de temps bien inutile ...
ainsi que sur le surprenant changement d'état civil de l'invité:
Pourrirez vous démontrez cette égalité -2i*ln((a+ai)/(a-ai))=pi
Avec i le nombre complexe et pi et a=114244/149375
J'ai la démonstration ,j'attend vos réponses..
Oui merci, je vois mais a la base j'ai mis b pour essayer de définir une cercle imaginaire
.
C'est Extra ... I love !
Bonne journée.
#167 Re : Programmation » Algorithme /Méthode » 18-11-2021 13:45:02
Bonjour,
Une solution consiste à appeler régulièrement (par exemple toutes les 100 millisecondes) l'horloge interne en lançant la procédure GetTime(Hr, Mn, Sc, Cs), laquelle retourne le temps actuel en heures, minutes, secondes et centièmes de seconde.
On recalcule la valeur entière approchée du temps en secondes, et en affiche la conversion au format habituel dès qu'elle diffère de la précédente.
La boucle s'achève sur l'enfoncement de la touche appropriée (ici l'esperluette '&').
Le programme source ci-dessous, rédigé en Pascal, se lit pratiquement comme du pseudo-code:
USES Crt, E_Texte, DOS;
PROCEDURE Aff_T(T_s: LongInt);
CONST o = 3;
VAR H1, M1, S1, T1: LongInt;
BEGIN
H1:= T_s DIV 3600; T1:= T_s MOD 3600;
M1:= T1 DIV 60; S1:= T1 MOD 60;
We(5, 5, H1, o); Write(' hr', M1:o, ' mn', S1:o, ' sc')
END;
PROCEDURE Enumeration;
VAR Cs, Hr, Mn, Sc, T1, Tsec: LongInt; Touche: Char;
BEGIN
E(1015); T1:= 0;
REPEAT
Delay(100); GetTime(Hr, Mn, Sc, Cs);
Tsec:= Sc; Inc(Tsec, 60 * Mn);
Inc(Tsec, 3600 * Hr); Inc(Tsec, Round(0.01 * Cs));
IF (Tsec<>T1) THEN Aff_T(Tsec);
T1:= Tsec; IF KeyPressed THEN Touche:= ReadKey
UNTIL (Touche='&')
END;
BEGIN
Enumeration
END.
E(1015) est une instruction de gestion de l'écran texte: # (1) pour l'effacement de l'écran, # (0) pour la couleur du fond et # (15) pour celle des caractères;
We(x, y, n, d) produit l'affichage de l'entier (n) sur (d) cases, à partir de celle de coordonnées (x, y);
Delay(100) suspend l'exécution du programme sur le délai indiqué;
KeyPressed est un booléen qui devient vrai dès l'appui sur une touche du clavier;
ReadKey déclenche la lecture du caractère correspondant.
Les intervenants du forum, qui maîtrisent Python, te fourniront toutes les indications nécessaires.
#168 Re : Café mathématique » Connaissez-vous le "Quart d'heure insolite" ? » 13-11-2021 16:27:55
Bonjour,
Je n'ai pas eu le temps de voir les vidéos; cependant la série, que je découvre, paraît intéressante.
Merci pour l'info.
#169 Re : Café mathématique » QUELLE EST L'ÉQUATION MATHÉMATIQUE EN 2 D et 3 D DE VOTRE CORPS? » 13-11-2021 16:13:05
Bonjour Extrazlove,
Encore un multipostage dont tu es coutumier ...
https://www.forumfr.com/sujet941889-que … corps.html
Il y en a certainement d'autres ...
#170 Re : Café mathématique » $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ??? » 10-10-2021 09:02:18
Intermède comique: devinez qui a dupliqué le sujet ?
https://www.forumfr.com/sujet939841-est … romLogin=1
La discussion a été supprimée sur MathOverflow.
#171 Re : Café mathématique » $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ??? » 07-10-2021 16:42:30
... la formule 1=0.999.... existe alors pourquoi pas
A=9999...=infini n'existe pas aussi comme pour i^2=-1 ...
Le nombre (i) et plus généralement les complexes obéissent à des règles parfaitement cohérentes, en ce qui concerne les opérations élémentaires. Il n'en est rien pour l'infini, qu'il est impossible d'incorporer à une table d'opérations sans faire rapidement apparaître des contradictions multiples et insurmontables.
Quand à l'égalité 1=0.999.... inhérente à la notation décimale de position, je ne peux que te renvoyer à l'observation que tu n'a manifestement pas encore comprise.
Tu devrais travailler les maths, et te documenter un peu avant de spéculer sur l'infini ...
là je supprime juste le . décimal pour écrire 9999...
... ce qui revient à multiplier le nombre initial par un facteur s'écrivant avec un '1', suivi d'une infinité de zéros. Ce n'est pas rien !
Tu patauges dans les mêmes erreurs.
https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_convergente
https://www.bibmath.net/dico/index.php? … nfini.html
#172 Re : Café mathématique » $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ??? » 07-10-2021 14:49:37
Est ce que le résultat 10/99 est bon non? ...
Les deux sommes indiquées sont dépourvues de signification; et même en laissant de côté tout ce qu'il faudrait écrire pour élaborer une présentation correcte de ce qui figure à gauche de l'égalité (et que, je crois, tu ne parviendrais à comprendre qu'au prix de grandes difficultés), le résultat final est faux:
le rapport
Rk = (∑n=0k(102*k))/(∑n=0k(9*10k))
tend vers l'infini lorsque (k) tend vers l'infini, et non vers 10/99 .
D'autres pourront argumenter beaucoup mieux que moi sur ce sujet. Cependant si tu ne te donnes pas la peine de réfléchir aux objections présentées, tu ne tireras rien de cet échange.
#173 Re : Café mathématique » $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ??? » 07-10-2021 13:52:42
La démonstration n'est même pas baser sur une somme infini, mais sur les règles d'arithmétique de base pour réduire une fraction selon l'écriture d'un nombre fini ou infini 0.5/0.9= 0.5555.../0.9999=5555.../9999..=5/9 .
Et on peut écrire l'infini sous forme d'un nombre infini=5+50+500+5000...=5555... ou infni=9+90+900+9000+..=9999..L'infini même si il n'est pas un nombre on peut utiliser sur lui les règles de base multiplication et addition et soustraction et division ...
C'est bien précisément ce qui t'échappe: toute démonstration entreprise à partir d'une grandeur qui n'existe pas (ou dont la définition est inconsistante) ne peut conduire qu'à des absurdités; et c'est ce que tu fais en envisageant des énormités telles que
5+50+500+5000...=5555...
Justifier de telles démarches en prenant prétexte de l'existence de nombres décimaux à nombre infini de chiffres, c'est oublier que la commodité d'écriture x = 0.555555... est une convention (parfaitement admise dans le cas envisagé) pour représenter la série convergente
S = ∑k=1∞(5/10k) = 5*∑k=1∞(10-k) ;
ce qui rend licites les opérations habituelles, telles que 0.555555... = 5 * 0.111111... .
Ecrire par contre 555555... = 5 * 111111... est une absurdité, qui conduirait à:
∞ = 5 * ∞ , d'où: 4 * ∞ = 0 , ∞ / ∞ = 5 , 1 = 5 ... et j'en passe !
Le tableau de chasse ne te paraît-il pas édifiant ? Dans le cas contraire, tu devrais envisager une sérieuse reconversion ...
#174 Re : Café mathématique » $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ??? » 07-10-2021 12:17:33
Bonjour,
J'ai le droit de poser une égalité entre deux limites, même si deux limites sont infinies ou n'existent pas ...
Poser une égalité entre deux termes dont l'un n'existe pas conduit à tout et au contraire de tout. Et c'est le cas (pour prolonger l'argumentation de Zebulor) des deux séries divergentes que tu introduis et dont les sommes partielles
S1k = Σn=0n=k (102n) ,
S2k = Σn=0n=k (10n) ,
deviennent à partir d'un certain rang, supérieures à tout nombre donné à l'avance, et n'admettent par conséquent aucune limite finie.
Tu te fais piéger par l'expression courante "tendre ver l'infini", parce que l'infini n'est malheureusement pas un nombre au sens ordinaire du terme, et ne se prête à aucune opération courante de l'arithmétique.
Les sommes partielles admettent pour expression :
S1k = (100k+1 - 1)/(100 - 1) = (100k+1 - 1)/99 ;
S2k = (10k+1 - 1)/(10 - 1) = (10k+1 - 1)/9 ,
et tendent effectivement toutes deux vers l'infini lorsque (k) augmente indéfiniment;
Elles admettent pour rapports:
R12k = S1k/S2k = (9/99)(100k+1 - 1)/(10k+1 - 1)
qui tend vers l'infini lorsque k tend vers l'infini;
R21k = S2k/S1k = (99/9)(10k+1 - 1)/(100k+1 - 1)
qui tend vers zéro lorsque k tend vers l'infini.
On obtient donc en reprenant ton raisonnement initial:
R12∞ = ∞ / ∞ = ∞ ; R21∞ = ∞ / ∞ = 0 ;
il y a donc comme un défaut ...
On pourrait y ajouter
Rk = S1k/S2k2 = (92/99)(100k+1 - 1)/(10k+1 - 1)2
qui tend vers (92/99) = 9/11 lorsque (k) tend vers l'infini, d'où:
∞ / ∞ = 9/11 ...
Qui dit mieux ?
#175 Re : Café mathématique » Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre » 15-09-2021 07:04:08
Bonjour,
Peut-être pourrais-tu regarder du côté de la formule de Stirling