Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Je viens de faire tourner un programme scilab qui m'a trouvé 35257 comme le plus petit diviseur de ton nombre. J'ai bien fait de ne pas continuer à la main.

Ostap Bender

Avec mes notations précédentes.

Soit [tex]({u_n}_k)_k[/tex] une sous suite convergente de [tex](u_n)_n[/tex] Soit [tex]\ell[/tex] sa limite. On a [tex]\forall k\in{\mathbf N},\, {u_n}_k \leq {w_n}_k[/tex]. On en déduit que [tex]\ell \leq L[/tex].

Mutatis mutandis, on obtient [tex]L\leq\ell[/tex] et par suite [tex]\ell = L[/tex].

Donc toutes les sous-suites convergentes de [tex](u_n)_n[/tex] tendent vers la même limite. Donc [tex](u_n)_n[/tex] est convergente et sa limite est [tex]L[/tex].

Ostap Bender

Je vois.

Même si cette démarche te semble naturelle, la négation de la convergence n'est pas aisée à manipuler...

Imaginons que [tex]\forall n\in{\mathbf N},\, v_n\leq u_n \leq w_n[/tex]. Tu en déduis que [tex]\limsup_{n\to\infty} u_n \leq \lim_{n\to\infty} v_n[/tex] et que [tex]\liminf_{n\to\infty} u_n \geq \lim_{n\to\infty} v_n[/tex]. La conclusion est alors immédiate.

Ostap Bender

Bonjour Monfort.

Soit [tex]z\in \mathbf C[/tex] et [tex](z_n)_n[/tex] une suite d'éléments de [tex]E[/tex] qui converge vers [tex]z[/tex]. Que peux-tu dire de la suite  [tex](f(z_n))_n[/tex] ?

Ostap Bender

Bonsoir Eplic.

Inverse Symbolic Calculator ne trouve rien.
En revanche, j'ai cherché à savoir si ce nombre est divisible par de petits nombres premiers.
Il n'est pas divisible par [tex]p<109[/tex]. A mon avis, c'est une piste.

Ostap Bender.

Bonsoir Robinson.

Pour une loi de Cauchy, tu as [tex]F(x)=\frac1{\pi}\left(\frac{\pi}2+\arctan(x)\right)[/tex]. Que vaut [tex]\lim_{x\to+\infty}x(1-F(x))[/tex] ?

Ostap Bender

Il faudrait peut-être faire un effort, non ? Il me semble que c'est TA question.

Tu peux calculer [tex]\displaystyle <xT,\psi(x)>[/tex] ou c'est trop fatigant ?

Ostap Bender

Il n'y a pas de problème avec le sinus.

Une condition nécessaire de convergence est que le terme général de la série tende vers zéro.
Si c'était le cas, ta suite [tex](\sin n)_n[/tex] tendrait vers [tex]-\frac35[/tex]. Or tu sais - tant mieux pour toi, parce que ce n'est pas complètement évident - que la suite [tex](\sin n)_n[/tex] ne converge pas. Tu obtiens une contradiction.

Ostap Bender

Difficile de répondre. Ce sont TES écritures, pas les miennes. Je ne sais pas ce que tu veux en faire ! (même si j'ai une petite idée.)

En revanche les valeurs absolues dans les deux écritures me semblent une pure coquetterie.

En tout cas les deux nombres sont égaux.

Ostap Bender

Bonsoir Hichem.

Nous trouvons le même polynôme caractéristique, ils sont simplement opposés.

Ostap Bender

Bon, je vois que c'est trop compliqué pour toi d'écrire

1) Démontrer que [tex]\forall (x,y) \in \mathbf R^2[/tex] on a : [tex]|f(x,y)| \leq x^2+y^2[/tex].

Autrement dit, on te demande de démontrer  que [tex]\forall (x,y) \in \mathbf R^2[/tex] on a : [tex]0 \leq (x^2+y^2)^2 - xy^3[/tex].

1.a) Est-ce que l'inégalité est vraie lorsque [tex]y=0[/tex] ?
1.b) Lorsque [tex]y\neq0[/tex] Quelle inégalité obtient-on en divisant les deux membres par [tex]y^4[/tex] ?
1.c) Lorsque tu poses [tex]t=\frac xy[/tex] le signe de quelle fonction de [tex]t[/tex] es-tu amené à étudier ?
1.d) Pourquoi peux-tu te contenter d'étudier le cas où [tex]t>0[/tex] ?
1.e) Peux-tu factoriser ta fonction dans ce dernier cas ?
1.f) Conclure

Ostap Bender

Effectivement, on trouve  [tex]\int_0^\pi \ln((x/2)^2) \,\mathrm dx [/tex] par un petit calcul de primitive (et un passage à la limite en zéro).

As-tu tous les éléments pour constituer une preuve complète de la convergence de ton intégrale de départ ?

Si c'est oui, je te propose de démontrer l'équivalence en zéro entre [tex]\ln(\sin x)[/tex] et [tex]\ln(x)[/tex].

Ostap Bender